Calcule as integrais indefinidas abaixo:
6) \int x \arctan x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \arctan x \, dx.
Informações dadas: a função a integrar é x\arctan x. O que se espera é encontrar uma primitiva (uma expressão que derivando dá x\arctan x), mais a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicando cada símbolo:
  • u é uma função de x que escolhemos (depois vamos calcular du, a sua diferencial).
  • dv é outra parte da integral que escolhemos (depois integramos dv para obter v).
  • du significa du = u'(x)\,dx.
  • v é uma primitiva de dv, ou seja, v = \int dv.
A ideia prática: escolhe-se u de modo que du seja mais simples que u, e dv que seja fácil de integrar.

Passo 3

Escolha das partes. Para \int x\arctan x\,dx uma escolha natural é:
u = \arctan x, \qquad dv = x\,dx.
Justificativa: a derivada de \arctan x fica bem simples ( \dfrac{1}{1+x^2}) e integrar x é trivial.

Passo 4

Calcular du e v.
Derivada de u:
du = \frac{d}{dx}(\arctan x)\,dx = \frac{1}{1+x^2}\,dx.
Integrando dv:
v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int x\arctan x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}\,dx.
Factorizando a constante:
\int x\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx.

Passo 6

Resolver a integral racional restante. Observe que
\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{x^2+1-1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}.
Portanto
\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = x - \arctan x.
Voltando à expressão do Passo 5:
\int x\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\bigl(x - \arctan x\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Simplificar a expressão final (juntar os termos com \arctan x):
\int x\arctan x\,dx = \frac{1+x^2}{2}\arctan x - \frac{x}{2} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1+x^2}{2}\arctan x - \frac{x}{2} + C

Exercícios relacionados