Calcule as integrais indefinidas abaixo:
6)
6)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
. O que se espera é encontrar uma primitiva (uma expressão que derivando dá
), mais a constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Explicando cada símbolo:
-
é uma função de que escolhemos (depois vamos calcular , a sua diferencial). -
é outra parte da integral que escolhemos (depois integramos para obter ). -
significa . -
é uma primitiva de , ou seja, .
A ideia prática: escolhe-se
de modo que
seja mais simples que
, e
que seja fácil de integrar.
Passo 3
Escolha das partes. Para
uma escolha natural é:
Justificativa: a derivada de
fica bem simples (
) e integrar
é trivial.
Passo 4
Calcular
e
.
Derivada de :
Derivada de
Integrando
:
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Factorizando a constante:
Passo 6
Resolver a integral racional restante. Observe que
Portanto
Voltando à expressão do Passo 5:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Simplificar a expressão final (juntar os termos com
):