Calcule as integrais indefinidas abaixo:
3)
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Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o integral indefinido
com . - O que se pede: encontrar uma expressão fechada (primitiva) para
. - Observação importante sobre domínio: o logaritmo natural
está definido para . Vou trabalhar assumindo . Se o enunciado usasse , a solução é análoga substituindo por . - Há um caso especial que deve ser tratado separadamente:
, porque a antiderivada de tem fórmula diferente quando . Portanto vou separar os casos e .
Passo 2
Ferramenta principal: integração por partes.
- A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
.
- Regra prática para escolher
e : escolher como algo que simplifica ao derivar (por exemplo fica ), e como algo fácil de integrar (por exemplo ). Por isso escolhemos:
- Então
- Agora preciso encontrar
. Isso exige para usar a fórmula usual de primitiva de potência.
Passo 3
Calcular
para
.
- Para
vale a primitiva das potências:
- Para aplicar integração por partes tomamos a primitiva particular sem o
, então
- Substituindo na fórmula de integração por partes:
Passo 4
Simplificar o termo
e obter a primitiva para
.
- Observe que
- Então
- Usando novamente
(válido para ),
- Reescrevendo de forma limpa:
- Opcional: fatorando
obtém-se
Passo 5
Caso especial
.
- Quando
a integral fica
- Faço a substituição direta
. Então . - Assim
válido para
.
Passo 6
Verificações rápidas e dica para a prova.
- Verificação com um valor simples: para
o resultado dá
que é a fórmula conhecida — bate com a expressão geral colocando
.
- Dica prática: sempre que aparecer
multiplicando uma potência, escolha em integração por partes — quase sempre é a melhor escolha porque simplifica bastante.
Resposta
Para
:
Para
: