Calcule as integrais indefinidas abaixo:
3) \int x^{r} \ln x d x, r \in \mathbb{R}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o integral indefinido \int x^{r}\ln x\,dx com r\in\mathbb{R}.
  • O que se pede: encontrar uma expressão fechada (primitiva) para \int x^{r}\ln x\,dx.
  • Observação importante sobre domínio: o logaritmo natural \ln x está definido para x>0. Vou trabalhar assumindo x>0. Se o enunciado usasse \ln|x|, a solução é análoga substituindo \ln x por \ln|x|.
  • Há um caso especial que deve ser tratado separadamente: r=-1, porque a antiderivada de x^r tem fórmula diferente quando r=-1. Portanto vou separar os casos r\neq-1 e r=-1.

Passo 2

Ferramenta principal: integração por partes.
  • A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de x, du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv.
  • Regra prática para escolher u e dv: escolher u como algo que simplifica ao derivar (por exemplo \ln x fica 1/x), e dv como algo fácil de integrar (por exemplo x^{r}\,dx). Por isso escolhemos:
u=\ln x,\qquad dv=x^{r}\,dx.
  • Então
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\int x^{r}\,dx.
  • Agora preciso encontrar v. Isso exige r\neq-1 para usar a fórmula usual de primitiva de potência.

Passo 3

Calcular v=\int x^{r}\,dx para r\neq-1.
  • Para r\neq-1 vale a primitiva das potências:
\int x^{r}\,dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C.
  • Para aplicar integração por partes tomamos a primitiva particular sem o +C, então
v=\frac{x^{r+1}}{r+1}.
  • Substituindo na fórmula de integração por partes:
\int x^{r}\ln x\,dx = u v - \int v\,du = \frac{x^{r+1}}{r+1}\ln x - \int \frac{x^{r+1}}{r+1}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 4

Simplificar o termo \int v\,du e obter a primitiva para r\neq-1.
  • Observe que
\frac{x^{r+1}}{r+1}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{r+1}x^{r}.
  • Então
\int x^{r}\ln x\,dx = \frac{x^{r+1}}{r+1}\ln x - \frac{1}{r+1}\int x^{r}\,dx.
  • Usando novamente \int x^{r}\,dx=\dfrac{x^{r+1}}{r+1} (válido para r\neq-1),
\int x^{r}\ln x\,dx = \frac{x^{r+1}}{r+1}\ln x - \frac{1}{r+1}\cdot\frac{x^{r+1}}{r+1} + C.
  • Reescrevendo de forma limpa:
\int x^{r}\ln x\,dx = \frac{x^{r+1}}{r+1}\ln x - \frac{x^{r+1}}{(r+1)^{2}} + C.
  • Opcional: fatorando \dfrac{x^{r+1}}{(r+1)^{2}} obtém-se
\int x^{r}\ln x\,dx = \frac{x^{r+1}}{(r+1)^{2}}\bigl((r+1)\ln x - 1\bigr) + C.

Passo 5

Caso especial r=-1.
  • Quando r=-1 a integral fica
\int x^{-1}\ln x\,dx = \int \frac{\ln x}{x}\,dx.
  • Faço a substituição direta t=\ln x. Então dt=\dfrac{1}{x}\,dx.
  • Assim
\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \int t\,dt = \frac{t^{2}}{2}+C = \frac{(\ln x)^{2}}{2}+C,
válido para x>0.

Passo 6

Verificações rápidas e dica para a prova.
  • Verificação com um valor simples: para r=0 o resultado dá
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C,
que é a fórmula conhecida — bate com a expressão geral colocando r=0.
  • Dica prática: sempre que aparecer \ln x multiplicando uma potência, escolha u=\ln x em integração por partes — quase sempre é a melhor escolha porque \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x} simplifica bastante.

Resposta

Para r\neq-1:
\int x^{r}\ln x\,dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}\ln x-\frac{x^{r+1}}{(r+1)^{2}}+C.
Para r=-1:
\int x^{-1}\ln x\,dx=\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C.

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