Calcule as integrais indefinidas abaixo:
4)
4)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos:
- A variável de integração é
. - A função integranda é
, definida para . - Queremos uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma função
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Escolha do método: integrais envolvendo potências do
normalmente são resolvidas por integração por partes, porque derivar
simplifica (gera
) e integrar
é simples. A ideia prática é escolher
como a parte que fica mais simples ao ser derivada (aqui
) e
como o resto (aqui
). Vamos aplicar integração por partes.
Passo 3
Relembre a fórmula de integração por partes e por que ela vale. A fórmula é
Derivação rápida (produto): para funções diferenciáveis
e
,
Integrando ambos os lados e isolando
chega-se à fórmula acima. Aqui:
-
é uma função cuja derivada conhecemos; -
é uma forma diferencial cuja primitiva conseguimos achar.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso problema. Escolha
Calcule
e
:
- Para
: derive em relação a . Usando regra da cadeia,
Logo
- Para
: a primitiva de é
Agora aplique integração por partes:
Simplificando o integrando:
Passo 5
Agora precisamos calcular
. Fazemos integração por partes de novo, com escolha natural
Calcule
e
:
Aplicando a fórmula:
(Aqui
é constante; na integral final agruparemos todas as constantes em uma única
.)
Passo 6
Volte para a expressão obtida no Passo 4 e substitua
:
Desenvolvendo e simplificando:
Fatorando
fica uma forma compacta útil:
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (confiança para a prova): derive a primitiva encontrada para checar se dá
.
Se , usando a regra do produto e derivadas já conhecidas:
Se
Simplificando o segundo termo:
como desejado. Portanto a primitiva está correta.