Calcule as integrais indefinidas abaixo:
4) \int(\ln x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int (\ln x)^{2}\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • A variável de integração é x.
  • A função integranda é (\ln x)^{2}, definida para x>0.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=(\ln x)^{2}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: integrais envolvendo potências do \ln x normalmente são resolvidas por integração por partes, porque derivar \ln x simplifica (gera 1/x) e integrar 1 é simples. A ideia prática é escolher u como a parte que fica mais simples ao ser derivada (aqui (\ln x)^2) e dv como o resto (aqui dx). Vamos aplicar integração por partes.

Passo 3

Relembre a fórmula de integração por partes e por que ela vale. A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Derivação rápida (produto): para funções diferenciáveis u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u v\big) = u'v + uv'.
Integrando ambos os lados e isolando \int u\,v'\,dx chega-se à fórmula acima. Aqui:
  • u é uma função cuja derivada du conhecemos;
  • dv é uma forma diferencial cuja primitiva v conseguimos achar.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso problema. Escolha
u=(\ln x)^{2},\qquad dv=dx.
Calcule du e v:
  • Para du: derive u em relação a x. Usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}(\ln x)^{2}=2(\ln x)\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=2(\ln x)\cdot\frac{1}{x}.
Logo
du = 2\frac{\ln x}{x}\,dx.
  • Para v: a primitiva de dv=dx é
v = x.
Agora aplique integração por partes:
\int(\ln x)^{2}\,dx = u v - \int v\,du = x(\ln x)^{2} - \int x\cdot 2\frac{\ln x}{x}\,dx.
Simplificando o integrando:
\int(\ln x)^{2}\,dx = x(\ln x)^{2} - 2\int \ln x\,dx.

Passo 5

Agora precisamos calcular \displaystyle \int \ln x\,dx. Fazemos integração por partes de novo, com escolha natural
u=\ln x,\qquad dv=dx.
Calcule du e v:
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=x.
Aplicando a fórmula:
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C_1.
(Aqui C_1 é constante; na integral final agruparemos todas as constantes em uma única C.)

Passo 6

Volte para a expressão obtida no Passo 4 e substitua \int \ln x\,dx:
\int(\ln x)^{2}\,dx = x(\ln x)^{2} - 2\big(x\ln x - x\big) + C.
Desenvolvendo e simplificando:
\int(\ln x)^{2}\,dx = x(\ln x)^{2} - 2x\ln x + 2x + C.
Fatorando x fica uma forma compacta útil:
\int(\ln x)^{2}\,dx = x\Big((\ln x)^{2} - 2\ln x + 2\Big) + C.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (confiança para a prova): derive a primitiva encontrada para checar se dá (\ln x)^{2}.
Se F(x)=x\big((\ln x)^{2}-2\ln x+2\big), usando a regra do produto e derivadas já conhecidas:
F'(x) = 1\cdot\big((\ln x)^{2}-2\ln x+2\big) + x\cdot\left(2\ln x\cdot\frac{1}{x} - 2\cdot\frac{1}{x}\right).
Simplificando o segundo termo:
F'(x) = (\ln x)^{2}-2\ln x+2 + (2\ln x - 2) = (\ln x)^{2},
como desejado. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

x\big((\ln x)^{2}-2\ln x+2\big)+C

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