Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int x\left(1+2 x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x\left(1+2x^{4}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x(1+2x^{4}).
  • A variável de integração é x.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), então devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão dentro da integral para aplicar regras básicas. Multiplicando o x pelos termos do parêntese:
x\left(1+2x^{4}\right)=x+2x^{5}.
Então a integral fica
\int x\left(1+2x^{4}\right)\,dx=\int\bigl(x+2x^{5}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora usamos a regra básica de integrais termo a termo e a regra da potência. Lembrete da regra da potência para integrais: para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui cada termo está numa forma x^{n} multiplicada por constante; podemos aplicar a regra termo a termo:
  • Para \int x\,dx, temos x=x^{1}, logo n=1 e
\int x\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}=\frac{x^{2}}{2}.
  • Para \int 2x^{5}\,dx, a constante 2 sai da integral e aplicamos a fórmula com n=5:
\int 2x^{5}\,dx=2\int x^{5}\,dx=2\cdot\frac{x^{5+1}}{5+1}=2\cdot\frac{x^{6}}{6}.

Passo 4

Simplificando a expressão do segundo termo:
2\cdot\frac{x^{6}}{6}=\frac{2}{6}x^{6}=\frac{1}{3}x^{6}.
Portanto a primitiva obtida somando os termos é
\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{6}}{3}+C.

Passo 5

Confirmação rápida (checagem): derivando a resposta para ver se recuperamos o integrando.
Derivada de \dfrac{x^{2}}{2} é x.
Derivada de \dfrac{x^{6}}{3} é 2x^{5}.
Somando: x+2x^{5}, que é exatamente x(1+2x^{4}). OK!

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{6}}{3}+C

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