Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(e^{x}+7\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(e^{x}+7\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de duas parcelas: \,e^{x}\, e \,7\,.
  • Trata-se de uma integral indefinida, portanto o resultado deve conter uma constante de integração.

Passo 2

Propriedades fundamentais que vamos usar (explicadas):
  • Linearidade da integral: para quaisquer funções f(x) e g(x),
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
Isto significa que podemos integrar cada parcela separadamente e depois somar os resultados.
  • Regra do fator constante: se a é constante,
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
No nosso caso, 7 é constante, então \int 7\,dx = 7\int 1\,dx.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao integrando:
\int\left(e^{x}+7\right)\,dx = \int e^{x}\,dx + \int 7\,dx.
Agora vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 4

Integral da primeira parcela: \int e^{x}\,dx.
Lembrança/justificativa: a derivada de \,e^{x}\, é \,e^{x}\, para todo x. Uma primitiva F(x) de e^{x} satisfaz F'(x)=e^{x}; a função F(x)=e^{x} faz exatamente isso. Portanto,
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante.

Passo 5

Integral da segunda parcela: \int 7\,dx.
Usando a regra do fator constante, escrevemos \int 7\,dx = 7\int 1\,dx. Sabendo que uma primitiva de 1 é x (pois \frac{d}{dx}x=1), obtemos
\int 7\,dx = 7x + C_{2},
onde C_{2} é outra constante.

Passo 6

Somando as primitivas obtidas:
\int\left(e^{x}+7\right)\,dx = \big(e^{x}+C_{1}\big) + \big(7x+C_{2}\big).
Agrupando as constantes C_{1} e C_{2} em uma única constante C (já que a soma de constantes é constante), obtemos
\int\left(e^{x}+7\right)\,dx = e^{x} + 7x + C.
Verificação rápida (método útil na prova): calcular a derivada de e^{x}+7x+C:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}+7x+C\big)=e^{x}+7,
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica de prova: sempre que o integrando for soma de termos simples, integre termo a termo usando linearidade. lembre-se de acrescentar apenas uma constante de integração ao final. Mantenha a calma — esse tipo de integral é direto e rápido.

Resposta

e^{x}+7x+C

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