Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é a soma de duas parcelas:
e . - Trata-se de uma integral indefinida, portanto o resultado deve conter uma constante de integração.
Passo 2
Propriedades fundamentais que vamos usar (explicadas):
- Linearidade da integral: para quaisquer funções
e ,
Isto significa que podemos integrar cada parcela separadamente e depois somar os resultados.
- Regra do fator constante: se
é constante,
No nosso caso,
é constante, então
.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao integrando:
Agora vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 4
Integral da primeira parcela:
.
Lembrança/justificativa: a derivada de
é
para todo
. Uma primitiva
de
satisfaz
; a função
faz exatamente isso. Portanto,
onde
é uma constante.
Passo 5
Integral da segunda parcela:
.
Usando a regra do fator constante, escrevemos
. Sabendo que uma primitiva de
é
(pois
), obtemos
onde
é outra constante.
Passo 6
Somando as primitivas obtidas:
Agrupando as constantes
e
em uma única constante
(já que a soma de constantes é constante), obtemos
Verificação rápida (método útil na prova): calcular a derivada de
:
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dica de prova: sempre que o integrando for soma de termos simples, integre termo a termo usando linearidade. lembre-se de acrescentar apenas uma constante de integração ao final. Mantenha a calma — esse tipo de integral é direto e rápido.