Calcule as integrais indefinidas abaixo:
(a) (1,0 ponto) integral raiz4-z^2 d z

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de raiz4 - z^2 em relação a z. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição trigonométrica.

Passo 2

Sabemos que integrais que envolvem a expressão raiza^2 - z^2 podem ser resolvidas usando uma substituição trigonométrica. Vamos definir z = 2 sin theta, onde a = 2 neste caso.

Passo 3

Calculamos a derivada de z = 2 sin theta em relação a theta:
dz = 2 cos theta , dtheta

Passo 4

Substituímos z e dz na integral original:
integral raiz4 - z^2 , dz = integral raiz4 - (2 sin theta)^2 cdot 2 cos theta , dtheta = integral raiz4 - 4 sin^2 theta cdot 2 cos theta , dtheta

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz4 - 4 sin^2 theta = raiz4 (1 - sin^2 theta) = raiz4 cos^2 theta = 2 cos theta

Passo 6

Substituímos de volta na integral:
integral 2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta = 4 integral cos^2 theta , dtheta

Passo 7

Usamos a identidade trigonométrica cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 para simplificar a integral:
4 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 2 integral (1 + cos 2theta) , dtheta = 2 ( theta + sin 2theta2 ) + C = 2 theta + sin 2theta + C

Passo 8

Agora, voltamos para a variável original z. Sabendo que z = 2 sin theta, então sin theta = z2 e theta = arcsin ( z2 ). Além disso, usando a identidade sin 2theta = 2 sin theta cos theta, temos:
sin 2theta = 2 cdot z2 cdot raiz1 - ( z2 )^2 = z raiz1 - z^24 = z cdot raiz4 - z^22 = z raiz4 - z^22

Passo 9

Substituímos tudo de volta na expressão integrada:
2 arcsin ( z2 ) + z raiz4 - z^22 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral raiz4 - z^2 , dz = 2 arcsin ( z2 ) + z raiz4 - z^22 + C

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