Dado o campo de vetores , use o Teorema de Gauss para calcular , onde S é a fronteira da região do espaço limitada inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^23 e superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=4, orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência) para calcular a integral de superfície de um campo vetorial. O problema nos dá um campo vetorial F(x, y, z)=(x^33, y z^2, y^2 z) e uma superfície S que é a fronteira de uma região no espaço limitada por um cone e uma esfera. Nosso objetivo é encontrar integral duplaS F cdot d S.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma superfície fechada S é igual à integral tripla do divergente de F sobre o volume V limitado por S. Matemáticamente, isso é:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV nabla cdot F , dV
Então, para usar o Teorema de Gauss, precisamos calcular o divergente de F, que é nabla cdot F.
Passo 3
Vamos calcular o divergente de F. Se F = (Fx, Fy, Fz), então:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para o nosso campo:
Fx = x^33, Fy = y z^2, Fz = y^2 z
Calculando as derivadas:
partial Fxpartial x = partialpartial x (x^33) = x^2
partial Fypartial y = partialpartial y (y z^2) = z^2
partial Fzpartial z = partialpartial z (y^2 z) = y^2
Então,
nabla cdot F = x^2 + z^2 + y^2 = x^2 + y^2 + z^2
Passo 4
Agora, vamos interpretar o volume V limitado pela superfície S. Temos:
A parte inferior é limitada pelo cone z = raizx^2+y^23.
A parte superior é limitada pela esfera x^2+y^2+z^2 = 4.
Queremos descrever esse volume de forma que possamos integrar facilmente. Será útil usar coordenadas cilíndricas ou esféricas, mas nesse caso, vamos optar por coordenadas esféricas porque estamos lidando com uma esfera.
Passo 5
Em coordenadas esféricas, as coordenadas são dadas por:
x = rho sin phi cos theta
y = rho sin phi sin theta
z = rho cos phi
E o elemento de volume é:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Agora, precisamos determinar os limites de integração para rho, phi e theta.
Passo 6
Vamos determinar os limites:
theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a rotação ao redor do eixo z.
rho varia de 0 até a superfície da esfera, que é rho = 2 (já que x^2+y^2+z^2=4 corresponde a rho = 2).
phi é o ângulo polar. O limite inferior para phi é definido pelo cone. A equação do cone z = raizx^2+y^23 em coordenadas esféricas fica:
rho cos phi = raizrho^2 sin^2 phi3 Rightarrow cos phi = sin phiraiz3 Rightarrow tan phi = raiz3
Isso significa que phi = pi3.
Então, phi varia de 0 a pi3.
Passo 7
Agora, vamos montar a integral tripla usando o divergente que calculamos (x^2 + y^2 + z^2 = rho^2):
integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV rho^2 cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta = integral triplaV rho^4 sin phi , drho , dphi , dtheta