CALCULE AS INTEGRAIS INDEFINIDAS:
c) \int\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}dx.
Informações dadas: a função integranda é \left(x-\frac{1}{x}\right)^{2} e a variável de integração é x. A resposta deve ser uma primitiva dessa função, isto é, uma expressão que, ao ser derivada, retorne a integranda, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão dentro da integral desenvolvendo o quadrado. Usamos a identidade (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. Tomando a=x e b=\dfrac{1}{x}, obtemos:
\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem ser fatoradas para fora. Assim:
\int\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}dx=\int\left(x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}\right)dx=\int x^{2}dx-2\int dx+\int \frac{1}{x^{2}}dx.

Passo 4

Aplicamos a regra de potência para integração: para n\neq-1,
\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Calculamos termo a termo:
  • \displaystyle \int x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3} porque aqui n=2.
  • \displaystyle -2\int dx=-2x porque \int dx=x.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}}dx=\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x} porque aqui n=-2.

Passo 5

Somando os resultados obtemos a primitiva:
\frac{x^{3}}{3}-2x-\frac{1}{x}+C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a primitiva encontramos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}-2x-\frac{1}{x}\right)=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}},
que é exatamente \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}-2x-\frac{1}{x}+C

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