Seja a função f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2} \cdot \text { sen }\left(\frac{1}{x}\right), & \text { se } x \neq 0 \\\ a, & \text { se } x=0\end{array} \quad\right.
(\mathbf{1 2} pts) Encontre os valores de a onde a função f é contínua?
onde a é um parâmetro real. A pergunta é: para quais valores de a a função f é contínua?\n
Informações relevantes fornecidas:
A expressão de f(x) para x\neq 0 é x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
O valor de f em x=0 é a.
Precisamos decidir a continuidade de f em todos os pontos (ou, implicitamente, determinar para quais a a função é contínua em 0 e, consequentemente, em todo \mathbb{R}).]
Passo 2
Definição útil (explicada devagar): uma função f é contínua em um ponto c se e somente se
\lim_{x\to c} f(x)=f\text{(c)}.
Isto significa duas coisas: o limite \lim_{x\to c} f(x) existe (as um número real) e esse número é igual ao valor da função f\text{(c)}. Aqui, para decidir continuidade de f precisamos checar dois tipos de pontos:
pontos x\neq 0;
o ponto x=0.
Passo 3
Continuidade em x\neq 0. Vou mostrar passo a passo por que não precisamos nos preocupar com a nesses pontos.
A função x\mapsto x^{2} é contínua para todo x.
A função x\mapsto \dfrac{1}{x} é contínua para x\neq 0.
A função t\mapsto \operatorname{sen}(t) é contínua para todo t.
A composição x\mapsto \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right) é contínua para x\neq 0 (compor contínuas dá contínua onde todas estão definidas).
O produto de duas funções contínuas é contínuo. Logo x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right) é contínua para todo x\neq 0.
Conclusão: para qualquer valor de a, a função f é contínua em todo ponto x\neq 0.
Passo 4
Agora focamos em x=0. Pelo passo 2, f será contínua em 0 se, e somente se,
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0)=a.
Então precisamos calcular \displaystyle\lim_{x\to 0} x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
Passo 5
Ferramenta que vamos usar: o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Ele diz: se três funções g,h,k satisfazem g(x)\le h(x)\le k(x) para x perto de c (exceto possivelmente em c) e \lim_{x\to c} g(x)=\lim_{x\to c} k(x)=L, então \lim_{x\to c} h(x)=L. Vou aplicar isso com h(x)=x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
Passo 6
Sabemos que, para todo número real t,
-1\le \operatorname{sen}(t)\le 1.
Substituindo t=\dfrac{1}{x} (válido para x\neq 0) obtemos
Voltando à condição de continuidade em 0: precisamos que
\lim_{x\to 0} f(x)=a.
Encontramos que \lim_{x\to 0} f(x)=0. Portanto a condição vira 0=a. Ou seja, f é contínua em 0 se, e somente se, a=0.
Passo 9
Resumo e conclusão didática: a peça problemática era x=0. Para x\neq 0 a função definida por x^{2}\operatorname{sen}(1/x) é contínua independentemente de a. Para x=0 a continuidade exige que o valor definido no ponto iguale o limite, e esse limite é 0; logo devemos escolher a=0 para ter continuidade em 0. Se quisermos que f seja contínua em todo \mathbb{R}, o único valor de a possível é a=0.
Resposta
Para x\neq 0: f é contínua para qualquer a.
Para x=0: f é contínua se, e somente se, a=0.