Calcule as integrais indefinidas nos exercicios 1-12 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma-padrão.
\int 28(7 x-2)^{-5} d x, \quad u=7 x-2
\int 28(7 x-2)^{-5} d x, \quad u=7 x-2
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função
e já nos fornece a substituição sugerida:
.
Informações dadas:
e
.
Nada mais é pedido: só calcular a primitiva usando a substituição indicada.
Informações dadas:
Nada mais é pedido: só calcular a primitiva usando a substituição indicada.
Passo 2
Ideia da substituição: trocar a variável
por
para transformar a integral numa forma-padrão do tipo
, que sabemos integrar facilmente. Primeiro vamos relacionar
com
. Diferenciando a definição de
em relação a
obtemos:
Isso significa que podemos escrever
Aqui
é a diferencial de
e
a diferencial de
; trocar
por
é a regra básica da substituição.
Passo 3
Agora substituímos
e
na integral original. Temos
Podemos tirar constantes fora da integral e simplificar a constante:
pois
.
Passo 4
Aplicamos a regra do poder para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo
que estava fora,
Passo 5
Voltamos à variável original
substituindo
. Assim a primitiva fica
onde
é a constante de integração. Bora — está pronta a resposta!