Calcule as integrais indefinidas nos exercicios 1-12 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma-padrão.
\int 28(7 x-2)^{-5} d x, \quad u=7 x-2

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função 28(7x-2)^{-5} e já nos fornece a substituição sugerida: u=7x-2.
Informações dadas:
\; \int 28(7x-2)^{-5}\,dx e \; u=7x-2.
Nada mais é pedido: só calcular a primitiva usando a substituição indicada.

Passo 2

Ideia da substituição: trocar a variável x por u para transformar a integral numa forma-padrão do tipo \int u^{n}\,du, que sabemos integrar facilmente. Primeiro vamos relacionar du com dx. Diferenciando a definição de u em relação a x obtemos:
du = 7\,dx.
Isso significa que podemos escrever
dx = \frac{du}{7}.
Aqui du é a diferencial de u e dx a diferencial de x; trocar dx por du/7 é a regra básica da substituição.

Passo 3

Agora substituímos u e dx na integral original. Temos
\int 28(7x-2)^{-5}\,dx = \int 28\,u^{-5}\cdot\frac{du}{7}.
Podemos tirar constantes fora da integral e simplificar a constante:
\int 28\,u^{-5}\cdot\frac{du}{7} = \int 4\,u^{-5}\,du,
pois 28/7=4.

Passo 4

Aplicamos a regra do poder para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-5, então
\int u^{-5}\,du = \frac{u^{-4}}{-4}.
Multiplicando pelo 4 que estava fora,
4\int u^{-5}\,du = 4\cdot\frac{u^{-4}}{-4} = -u^{-4}.

Passo 5

Voltamos à variável original x substituindo u=7x-2. Assim a primitiva fica
-\,\bigl(7x-2\bigr)^{-4}+C,
onde C é a constante de integração. Bora — está pronta a resposta!

Resposta

-\bigl(7x-2\bigr)^{-4}+C

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