Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente.\n
Informações dadas que vamos usar: o termo geral é para
. Não há outras hipóteses ocultas: a série é numérica com termos positivos.
Informações dadas que vamos usar: o termo geral é
Passo 2
Qual a estratégia? Vou mostrar duas abordagens curtas e didáticas (ambas convencem): (A) teste da comparação por limite com a série harmônica
; (B) decompor em frações parciais e relacionar com os somatórios harmônicos. A razão de escolher essas abordagens é que para grandes
o termo behave como uma constante vezes
, então comparar com
é natural e simples.
Passo 3
Aplicando o teste da comparação por limite com a série
(a conhecida série harmônica): calcule o limite
Simplificamos a expressão dentro do limite:
Agora o limite:
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo (
), pela forma do teste da comparação por limite isso significa que
tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) que
.
Passo 4
Lembra: a série harmônica
é divergente. Logo, pela conclusão do Passo 3 (limite positivo e finito), a série do enunciado também é divergente.\n
(Se precisar de mais justificativa: testes de comparação por limite dizem que se com
, então
e
são simultaneamente convergentes ou divergentes.)
(Se precisar de mais justificativa: testes de comparação por limite dizem que se
Passo 5
Agora faço a decomposição em frações parciais para dar mais intuição e para você ver como os harmônicos aparecem explicitamente. Procuro
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
e
. Assim
e
. Portanto
Passo 6
Calculemos a soma parcial
usando a decomposição:
Note que
(o
-ésimo número harmônico) e
Logo
Como
quando
, segue que
. Portanto a série não converge para um número finito.
Passo 7
Explico rapidinho por que
(a prova clássica): pelo teste integral,
E para
temos a desigualdade
. Como
, segue que
. Isso confirma que
e a série diverge.
Resposta
Divergente (as somas parciais
tendem a
).