Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 n+2}{n(n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n+2}{n(n+1)}
é convergente ou divergente.\n
Informações dadas que vamos usar: o termo geral é \frac{3n+2}{n(n+1)} para n=1,2,3,\dots. Não há outras hipóteses ocultas: a série é numérica com termos positivos.

Passo 2

Qual a estratégia? Vou mostrar duas abordagens curtas e didáticas (ambas convencem): (A) teste da comparação por limite com a série harmônica \sum 1/n; (B) decompor em frações parciais e relacionar com os somatórios harmônicos. A razão de escolher essas abordagens é que para grandes n o termo behave como uma constante vezes 1/n, então comparar com \sum 1/n é natural e simples.

Passo 3

Aplicando o teste da comparação por limite com a série \sum \dfrac{1}{n} (a conhecida série harmônica): calcule o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{3n+2}{n(n+1)}}{\dfrac{1}{n}}.
Simplificamos a expressão dentro do limite:
\frac{\dfrac{3n+2}{n(n+1)}}{\dfrac{1}{n}}=\frac{3n+2}{n+1}.
Agora o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{n+1}=3.
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo ( 3), pela forma do teste da comparação por limite isso significa que \sum \dfrac{3n+2}{n(n+1)} tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) que \sum \dfrac{1}{n}.

Passo 4

Lembra: a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é divergente. Logo, pela conclusão do Passo 3 (limite positivo e finito), a série do enunciado também é divergente.\n
(Se precisar de mais justificativa: testes de comparação por limite dizem que se \lim_{n\to\infty} a_n/b_n = c com 0<c<\infty, então \sum a_n e \sum b_n são simultaneamente convergentes ou divergentes.)

Passo 5

Agora faço a decomposição em frações parciais para dar mais intuição e para você ver como os harmônicos aparecem explicitamente. Procuro A e B tais que
\frac{3n+2}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando por n(n+1) obtemos
3n+2 = A(n+1)+Bn = (A+B)n + A.
Comparando coeficientes: A+B=3 e A=2. Assim A=2 e B=1. Portanto
\frac{3n+2}{n(n+1)}=\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1}.

Passo 6

Calculemos a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{3n+2}{n(n+1)} usando a decomposição:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1}\right)=2\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1}.
Note que \sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n}=H_N (o N-ésimo número harmônico) e
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n+1}=H_{N+1}-1.
Logo
S_N=2H_N + (H_{N+1}-1)=3H_N + \frac{1}{N+1} -1.
Como H_N\to\infty quando N\to\infty, segue que S_N\to\infty. Portanto a série não converge para um número finito.

Passo 7

Explico rapidinho por que H_N\to\infty (a prova clássica): pelo teste integral,
\int_{1}^{N+1}\frac{1}{x}\,dx=\ln(N+1).
E para n\ge1 temos a desigualdade H_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\ge\int_{1}^{N+1}\frac{1}{x}\,dx=\ln(N+1). Como \ln(N+1)\to\infty, segue que H_N\to\infty. Isso confirma que S_N\to\infty e a série diverge.

Resposta

Divergente (as somas parciais S_N tendem a +\infty).

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