Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n} é convergente ou divergente.\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
  • A soma começa em n=2.\n
  • Para n\ge 2 temos \ln n>0, logo os termos \frac{1}{n\ln n} são positivos.\n
  • Precisamos decidir se a soma infinita desses termos converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).

Passo 2

Vamos usar o Teste da Integral (uma ferramenta muito comum para séries com termos positivos). Antes de aplicar o teste, preciso mostrar que a função apropriada satisfaz as hipóteses do teste.\n
Defina a função
f(x)=\frac{1}{x\ln x},
para x\ge 2. Vou verificar que f é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty).\n
  • Positividade e continuidade: para x\ge 2 temos \ln x>0, então f(x)>0. A função é composta por x e \ln x no denominador, ambas contínuas em x\ge2, logo f é contínua em [2,\infty).\n
  • Monotonicidade (decrescente): calcule a derivada de f. Seja g(x)=x\ln x. Então g'(x)=\ln x+1. Usando a regra da derivada de 1/g,
f'(x) = -\frac{g'(x)}{(g(x))^{2}} = -\frac{\ln x + 1}{x^{2}(\ln x)^{2}}.
O numerador \ln x+1 é positivo para x\ge 2, e o denominador x^{2}(\ln x)^{2} também é positivo, portanto f'(x)<0 para todo x\ge 2. Assim f é decrescente em [2,\infty).\n
Portanto todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas: f é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty).

Passo 3

Enunciado do Teste da Integral (em palavras simples): se f é positiva, contínua e decrescente em [a,\infty) e a_n=f(n), então a série \sum_{n=a}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx converge. Ou seja, a série e a integral têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).\n
Como nossa série tem termos a_n=f(n) com f como acima, podemos aplicar o teste.

Passo 4

Calcule a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx.
Use a substituição u=\ln x. Então du=\frac{1}{x}\,dx, logo \frac{1}{x}\,dx=du. Quando x=2, u=\ln 2. Quando x\to\infty, u\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u}\,du.
A primitiva de \frac{1}{u} é \ln u, logo a integral imprópria é
\lim_{T\to\infty} \int_{\ln 2}^{T} \frac{1}{u}\,du = \lim_{T\to\infty} \bigl(\ln T - \ln(\ln 2)\bigr).
Esse limite tende a +\infty porque \ln T \to \infty quando T\to\infty. Portanto a integral diverge.

Passo 5

Pelo Teste da Integral, como a integral \displaystyle \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx diverge, a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n} também diverge.\n
Um comentário útil para a prova: essa série é um caso limite importante — para séries do tipo \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{p}} a mesma técnica mostra que elas convergem se, e somente se, p>1; quando p\le 1 (como aqui, com p=1) elas divergem.

Resposta

Divergente

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