Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente.\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
- A soma começa em
.\n - Para
temos , logo os termos são positivos.\n - Precisamos decidir se a soma infinita desses termos converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).
Passo 2
Vamos usar o Teste da Integral (uma ferramenta muito comum para séries com termos positivos). Antes de aplicar o teste, preciso mostrar que a função apropriada satisfaz as hipóteses do teste.\n
Defina a função
Defina a função
para
. Vou verificar que
é positiva, contínua e decrescente em
.\n
- Positividade e continuidade: para
temos , então . A função é composta por e no denominador, ambas contínuas em , logo é contínua em .\n - Monotonicidade (decrescente): calcule a derivada de
. Seja . Então . Usando a regra da derivada de ,
O numerador
é positivo para
, e o denominador
também é positivo, portanto
para todo
. Assim
é decrescente em
.\n
Portanto todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas: é positiva, contínua e decrescente em
.
Portanto todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas:
Passo 3
Enunciado do Teste da Integral (em palavras simples): se
é positiva, contínua e decrescente em
e
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Ou seja, a série e a integral têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).\n
Como nossa série tem termos com
como acima, podemos aplicar o teste.
Como nossa série tem termos
Passo 4
Calcule a integral imprópria
Use a substituição
. Então
, logo
. Quando
,
. Quando
,
. A integral transforma-se em
A primitiva de
é
, logo a integral imprópria é
Esse limite tende a
porque
quando
. Portanto a integral diverge.
Passo 5
Pelo Teste da Integral, como a integral
diverge, a série
também diverge.\n
Um comentário útil para a prova: essa série é um caso limite importante — para séries do tipo a mesma técnica mostra que elas convergem se, e somente se,
; quando
(como aqui, com
) elas divergem.
Um comentário útil para a prova: essa série é um caso limite importante — para séries do tipo
Resposta
Divergente