Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{1}{\sqrt{5 x+8}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral 1raiz5x+8,dx
O conteúdo principal aqui é o método de substituição simples para integrais da forma integral (ax+b)^n,dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 5x + 8,
pois isso torna o radicando mais simples. Então
du = 5,dx Longrightarrow dx = du5

Passo 3

Em termos de u, a integral vira
integral 1raizu;dx = integral 1raizu;du5 = 15integral u^-tfrac12,du

Passo 4

Agora usamos a regra da potência para primitiva de u^-tfrac12:
integral u^-tfrac12,du = u^-tfrac12+1-tfrac12+1 = u^tfrac12tfrac12 = 2,u^tfrac12
Portanto
15integral u^-tfrac12,du = 15cdot 2,u^tfrac12 = 25,raizu
Voltando a x com u=5x+8, obtemos
25,raiz5x+8 + C

Resposta

integral 1raiz5x+8,dx = 25,raiz5x+8 + C

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