Calcule as integrais indefinidas:
\int \tan ^{2} x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral tan^2x,sec^2x,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, explorando que a derivada de tan x é sec^2 x.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = tan x,
pois ao derivar obtemos exatamente o fator sec^2 x presente no integrando.

Passo 3

Calculamos o diferencial:
du = sec^2 x,dx

Passo 4

Substituímos na integral original:
integral tan^2x,sec^2x,dx = integral u^2,du

Passo 5

Integramos em u:
integral u^2,du = u^33 + C

Passo 6

Voltando à variável x:
u^33 + C = tan^3x3 + C

Resposta

tan^3x3 + C

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