Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas (apenas o que está no enunciado):
- A função a integrar é
. - Busca-se uma primitiva (integração indefinida), ou seja, uma expressão
tal que .
Passo 2
Vamos listar identidades e fatos que vou usar (não resolvo nada ainda, só explico as ferramentas):
- Definições:
e . - Identidade trigonométrica útil:
Explicação rápida: essa identidade vem de
dividindo por
.
- Derivada que é muito usada em substituições:
Ou seja, diferenciar
dá
; isso indica que
aparece naturalmente como
.
Passo 3
Reescrevo a integranda de forma a aproveitar a identidade acima e a derivada da
. Separo um fator
que combina com
:
Agora uso
para expressar tudo em função de
:
Portanto a integral fica
Passo 4
Faço a substituição natural motivada pelo fator
. Defino
Assim
. Substituindo na integral obtemos uma integral em
:
Passo 5
Expando o polinômio e integro termo a termo. Primeiro:
Então
Integro cada termo:
Com o sinal negativo:
Passo 6
Volto à variável
substituindo
. Assim a primitiva é
Posso escrever em ordem decrescente das potências de
se preferir: