Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{cossec}{ }^{6} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \csc^{6} x \, dx.
Informações relevantes dadas (apenas o que está no enunciado):
  • A função a integrar é \csc^{6} x.
  • Busca-se uma primitiva (integração indefinida), ou seja, uma expressão F(x)+C tal que F'(x)=\csc^{6}x.

Passo 2

Vamos listar identidades e fatos que vou usar (não resolvo nada ainda, só explico as ferramentas):
  • Definições: \csc x = \dfrac{1}{\sin x} e \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}.
  • Identidade trigonométrica útil:
\csc^{2} x = 1 + \cot^{2} x.
Explicação rápida: essa identidade vem de \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1 dividindo por \sin^{2}x.
  • Derivada que é muito usada em substituições:
\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^{2} x.
Ou seja, diferenciar \cot x -\csc^{2}x; isso indica que \csc^{2}x\,dx aparece naturalmente como -d(\cot x).

Passo 3

Reescrevo a integranda de forma a aproveitar a identidade acima e a derivada da \cot. Separo um fator \csc^{2}x que combina com d(\cot x):
\csc^{6} x = \csc^{4} x\cdot \csc^{2} x = (\csc^{2} x)^{2}\cdot \csc^{2} x.
Agora uso \csc^{2}x = 1+\cot^{2}x para expressar tudo em função de \cot x:
(\csc^{2} x)^{2} = (1+\cot^{2}x)^{2}.
Portanto a integral fica
\int \csc^{6} x \, dx = \int (1+\cot^{2}x)^{2}\, \csc^{2}x \, dx.

Passo 4

Faço a substituição natural motivada pelo fator \csc^{2}x\,dx. Defino
u = \cot x \quad\Rightarrow\quad du = -\csc^{2}x\,dx.
Assim \csc^{2}x\,dx = -du. Substituindo na integral obtemos uma integral em u:
\int (1+\cot^{2}x)^{2}\, \csc^{2}x \, dx = -\int (1+u^{2})^{2}\, du.

Passo 5

Expando o polinômio e integro termo a termo. Primeiro:
(1+u^{2})^{2} = 1 + 2u^{2} + u^{4}.
Então
- \int (1+u^{2})^{2}\,du = -\int (1 + 2u^{2} + u^{4})\,du.
Integro cada termo:
\int 1\,du = u,\qquad \int 2u^{2}\,du = 2\cdot\frac{u^{3}}{3}=\frac{2}{3}u^{3},\qquad \int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5}.
Com o sinal negativo:
- \int (1 + 2u^{2} + u^{4})\,du = -\left(u + \frac{2}{3}u^{3} + \frac{1}{5}u^{5}\right) + C.

Passo 6

Volto à variável x substituindo u=\cot x. Assim a primitiva é
-\left(\cot x + \frac{2}{3}\cot^{3}x + \frac{1}{5}\cot^{5}x\right) + C.
Posso escrever em ordem decrescente das potências de \cot se preferir:
-\frac{1}{5}\cot^{5}x - \frac{2}{3}\cot^{3}x - \cot x + C.

Resposta

-\cot x - \frac{2}{3}\cot^{3}x - \frac{1}{5}\cot^{5}x + C

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