Calcule as integrais indefinidas:
\int \sqrt{\cos x}-\operatorname{sen}^{3} x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função
\int \left(\sqrt{\cos x}-\operatorname{sen}^{3}x\right)\,dx.
Pergunta explicitamente: achar uma antiderivada (primitiva) de \sqrt{\cos x}-\operatorname{sen}^{3}x.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é a diferença de duas funções: \sqrt{\cos x} e \operatorname{sen}^{3}x.
  • Podemos tratar a integral como soma/diferença de duas integrais separadas: \int \sqrt{\cos x}\,dx \quad\text{e}\quad \int -\operatorname{sen}^{3}x\,dx.
A partir daqui vamos resolver cada uma separadamente e depois somar as primitivas.

Passo 2

Primeira observação prática (técnica de resolução): para integrais de soma ou diferença, calcular as primitivas separadamente e somar. Assim:
\int \left(\sqrt{\cos x}-\operatorname{sen}^{3}x\right)\,dx = \int \sqrt{\cos x}\,dx \;-\; \int \operatorname{sen}^{3}x\,dx.
Vou começar pela parte mais simples (a da potência ímpar do seno) e depois tratar a parte com \sqrt{\cos x}, que exige um pouco mais de técnica (envolve funções especiais).

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \int \operatorname{sen}^{3}x\,dx (parte fácil), passo a passo:
  1. Escrever \operatorname{sen}^{3}x como \operatorname{sen}x\,(1-\cos^{2}x). Isso é útil porque aparece \operatorname{sen}x\,dx que sugere a substituição u=\cos x.
  2. Faço a substituição u=\cos x. Então du=-\operatorname{sen}x\,dx, ou seja \operatorname{sen}x\,dx=-du.
  3. Substituindo na integral:
\int \operatorname{sen}^{3}x\,dx = \int \operatorname{sen}x\,(1-\cos^{2}x)\,dx = \int (1-u^{2})(-du).
  1. Integro em u:
\int (1-u^{2})(-du) = -\int (1-u^{2})\,du = -(u - \tfrac{u^{3}}{3}) + C.
  1. Volto a x com u=\cos x:
\int \operatorname{sen}^{3}x\,dx = -\cos x + \frac{\cos^{3}x}{3} + C.
Como na integral original temos -\operatorname{sen}^{3}x, então
\int -\operatorname{sen}^{3}x\,dx = -\left(-\cos x + \frac{\cos^{3}x}{3}\right) + C = \cos x - \frac{\cos^{3}x}{3} + C.

Passo 4

Agora a parte mais trabalhosa: \displaystyle \int \sqrt{\cos x}\,dx = \int (\cos x)^{1/2}\,dx.
  1. Uma substituição natural é u=\operatorname{sen}x. Então du=\cos x\,dx, isto é dx=\dfrac{du}{\cos x}.
  2. Substituo em \int (\cos x)^{1/2}\,dx:
\int (\cos x)^{1/2}\,dx = \int (\cos x)^{1/2}\cdot \frac{du}{\cos x} = \int (\cos x)^{-1/2}\,du.
  1. Usando a identidade \cos^{2}x = 1-\operatorname{sen}^{2}x e lembrando que u=\operatorname{sen}x, tem-se
(\cos x)^{-1/2} = \big(\cos^{2}x\big)^{-1/4} = (1-u^{2})^{-1/4}.
Logo a integral transforma-se em
\int (\cos x)^{1/2}\,dx = \int (1-u^{2})^{-1/4}\,du.
Observação importante (pedagógica): nessa etapa usei a identidade pitagórica e propriedades de potências para eliminar x em favor de u. Agora a integral ficou em função de u, mas a primitiva não é uma função elementar simples (não é soma de polinômios, exponenciais, logaritmos, arctrigonométricas etc.). Vai aparecer uma função especial (função Beta incompleta ou hipergeométrica).

Passo 5

Expressão da primitiva de \displaystyle \int (1-u^{2})^{-1/4}\,du em função da função Beta incompleta (passo a passo):
  1. Faço a substituição t=u^{2}. Então dt=2u\,du, ou seja du = \dfrac{dt}{2\sqrt{t}}.
  2. Substituindo:
\int (1-u^{2})^{-1/4}\,du = \int (1-t)^{-1/4}\,\frac{dt}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{2}\int t^{1/2-1}(1-t)^{3/4-1}\,dt.
  1. A integral \displaystyle \int_{0}^{z} t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt define a função Beta incompleta B_z(a,b). Comparando, temos a=\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{3}{4}, e a variável superior é t=u^{2}=\operatorname{sen}^{2}x. Portanto, uma primitiva (uma antiderivada) é
\frac{1}{2}\,B_{u^{2}}\!\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\big) + C.
  1. Voltando para a variável x (lembre u=\operatorname{sen}x):
\int \sqrt{\cos x}\,dx = \frac{1}{2}\,B_{\sin^{2}x}\!\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\big) + C.
Comentário didático: a função B_{z}(a,b) é a função Beta incompleta,
B_{z}(a,b)=\int_{0}^{z} t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt,
e é uma forma padrão de escrever primitivas quando aparece integranda do tipo t^{p-1}(1-t)^{q-1}. Alternativamente, essa primitiva pode ser reescrita em termos da função hipergeométrica {}_2F_{1}, mas para provas normalmente a expressão com Beta incompleta já é considerada uma forma fechada aceitável.

Passo 6

Agora junto as duas primitivas (a parte com Beta incompleta da raiz de cosseno e a parte polinomial da potência do seno):
\int \left(\sqrt{\cos x}-\operatorname{sen}^{3}x\right)\,dx = \frac{1}{2}\,B_{\sin^{2}x}\!\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\big) \;+\; \cos x - \frac{\cos^{3}x}{3} + C.
Explicação final curta: a contribuição de \sqrt{\cos x} pediu uma função especial (Beta incompleta) após a substituição u=\sin x; a contribuição de -\operatorname{sen}^{3}x foi integrada por substituição u=\cos x e resultou em \cos x-\tfrac{\cos^{3}x}{3}. Somando e juntando as constantes obtemos a antiderivada acima.

Resposta

\frac{1}{2}\,B_{\sin^{2}x}\!\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\big) +\cos x-\frac{\cos^{3}x}{3}+C

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