Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função
Pergunta explicitamente: achar uma antiderivada (primitiva) de
.
Informações relevantes dadas:
- A integranda é a diferença de duas funções:
e . - Podemos tratar a integral como soma/diferença de duas integrais separadas:
A partir daqui vamos resolver cada uma separadamente e depois somar as primitivas.
Passo 2
Primeira observação prática (técnica de resolução): para integrais de soma ou diferença, calcular as primitivas separadamente e somar. Assim:
Vou começar pela parte mais simples (a da potência ímpar do seno) e depois tratar a parte com
, que exige um pouco mais de técnica (envolve funções especiais).
Passo 3
Cálculo de
(parte fácil), passo a passo:
-
Escrever
como . Isso é útil porque aparece que sugere a substituição . -
Faço a substituição
. Então , ou seja . -
Substituindo na integral:
- Integro em
:
- Volto a
com :
Como na integral original temos
, então
Passo 4
Agora a parte mais trabalhosa:
.
-
Uma substituição natural é
. Então , isto é . -
Substituo em
:
- Usando a identidade
e lembrando que , tem-se
Logo a integral transforma-se em
Observação importante (pedagógica): nessa etapa usei a identidade pitagórica e propriedades de potências para eliminar
em favor de
. Agora a integral ficou em função de
, mas a primitiva não é uma função elementar simples (não é soma de polinômios, exponenciais, logaritmos, arctrigonométricas etc.). Vai aparecer uma função especial (função Beta incompleta ou hipergeométrica).
Passo 5
Expressão da primitiva de
em função da função Beta incompleta (passo a passo):
-
Faço a substituição
. Então , ou seja . -
Substituindo:
- A integral
define a função Beta incompleta . Comparando, temos e , e a variável superior é . Portanto, uma primitiva (uma antiderivada) é
- Voltando para a variável
(lembre ):
Comentário didático: a função
é a função Beta incompleta,
e é uma forma padrão de escrever primitivas quando aparece integranda do tipo
. Alternativamente, essa primitiva pode ser reescrita em termos da função hipergeométrica
, mas para provas normalmente a expressão com Beta incompleta já é considerada uma forma fechada aceitável.
Passo 6
Agora junto as duas primitivas (a parte com Beta incompleta da raiz de cosseno e a parte polinomial da potência do seno):
Explicação final curta: a contribuição de
pediu uma função especial (Beta incompleta) após a substituição
; a contribuição de
foi integrada por substituição
e resultou em
. Somando e juntando as constantes obtemos a antiderivada acima.