Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Dados relevantes:
- A variável de integração é
. - A função integranda é o produto de potências ímpares de seno e cosseno avaliadas em
. - Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida com constante de integração
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do raciocínio): quando aparecem potências ímpares de seno e cosseno juntas, uma boa técnica é separar um fator linear de seno ou cosseno e usar a identidade trigonométrica
para reescrever a parte restante como função da variável substituída. Aqui temos expoentes ímpares em ambos; podemos escolher extrair um fator
(ou um
), e usar
ou
. Vou escolher a substituição
porque a diferencial de
envolve um fator
, que aparece na integral — isso simplifica bastante pelo princípio da regra da cadeia.
Passo 3
Reescrevendo a integranda para facilitar a substituição:
Agora uso a identidade
com
, obtendo
Passo 4
Faço a substituição explicitamente:
Derivando, pela regra da cadeia,
portanto
Substituindo na integral (usando também que
):
Passo 5
Simplifico o integrando em
:
Agora integro termo a termo. Lembrando que
:
Logo
Passo 6
Faço as multiplicações por
:
Passo 7
Volto à variável original substituindo
:
Opcionalmente, pode-se fatorar
, mas a forma acima já é uma primitiva válida e bem direta.