Calcule as integrais indefinidas:
\int \operatorname{sen}^{3}(1-2 x) \cos ^{3}(1-2 x)

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{3}(1-2 x)\cos^{3}(1-2 x)\,dx.
Dados relevantes:
  • A variável de integração é x.
  • A função integranda é o produto de potências ímpares de seno e cosseno avaliadas em 1-2x.
  • Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, calcular a integral indefinida com constante de integração C.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do raciocínio): quando aparecem potências ímpares de seno e cosseno juntas, uma boa técnica é separar um fator linear de seno ou cosseno e usar a identidade trigonométrica
\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1,
para reescrever a parte restante como função da variável substituída. Aqui temos expoentes ímpares em ambos; podemos escolher extrair um fator \cos(1-2x) (ou um \sin), e usar \sin^{2}\theta = 1-\cos^{2}\theta ou \cos^{2}\theta = 1-\sin^{2}\theta. Vou escolher a substituição
u=\sin(1-2x),
porque a diferencial de \sin(1-2x) envolve um fator \cos(1-2x)\,dx, que aparece na integral — isso simplifica bastante pelo princípio da regra da cadeia.

Passo 3

Reescrevendo a integranda para facilitar a substituição:
\sin^{3}(1-2x)\cos^{3}(1-2x) = \bigl[\sin^{3}(1-2x)\cos^{2}(1-2x)\bigr]\cos(1-2x).
Agora uso a identidade \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta com \theta=1-2x, obtendo
\sin^{3}(1-2x)\cos^{3}(1-2x) = \sin^{3}(1-2x)\bigl(1-\sin^{2}(1-2x)\bigr)\cos(1-2x).

Passo 4

Faço a substituição explicitamente:
u=\sin(1-2x).
Derivando, pela regra da cadeia,
du = \cos(1-2x)\cdot(1-2x)'\,dx = \cos(1-2x)\cdot(-2)\,dx,
portanto
\cos(1-2x)\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral (usando também que \sin(1-2x)=u):
\int \sin^{3}(1-2x)\bigl(1-\sin^{2}(1-2x)\bigr)\cos(1-2x)\,dx = \int u^{3}(1-u^{2})\left(-\frac{1}{2}\,du\right).

Passo 5

Simplifico o integrando em u:
\int u^{3}(1-u^{2})\left(-\frac{1}{2}\right)\,du = -\frac{1}{2}\int \bigl(u^{3}-u^{5}\bigr)\,du.
Agora integro termo a termo. Lembrando que \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1} + C:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4},\qquad \int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6}.
Logo
-\frac{1}{2}\int \bigl(u^{3}-u^{5}\bigr)\,du = -\frac{1}{2}\left(\frac{u^{4}}{4}-\frac{u^{6}}{6}\right)+C.

Passo 6

Faço as multiplicações por -\dfrac{1}{2}:
-\frac{1}{2}\left(\frac{u^{4}}{4}-\frac{u^{6}}{6}\right) = -\frac{1}{8}u^{4}+\frac{1}{12}u^{6}+C.

Passo 7

Volto à variável original substituindo u=\sin(1-2x):
-\frac{1}{8}\sin^{4}(1-2x)+\frac{1}{12}\sin^{6}(1-2x)+C.
Opcionalmente, pode-se fatorar \sin^{4}(1-2x), mas a forma acima já é uma primitiva válida e bem direta.

Resposta

-\frac{1}{8}\sin^{4}(1-2x)+\frac{1}{12}\sin^{6}(1-2x)+C

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