Calcule a integrais indefinidas
\int \operatorname{sen}(5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função \operatorname{sen}(5 x). Ou seja, devemos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}(5 x). A informação dada é apenas a expressão do integrando: \operatorname{sen}(5 x). Não há limites (é indefinida), então a resposta terá uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia: quando temos uma função trigonométrica com uma expressão linear dentro, como \operatorname{sen}(5 x), é natural usar a substituição u= a parte interna (aqui u=5x). Vou explicar por que isso funciona: a técnica de substituição transforma a integral em termos de u, e aí usamos integrais básicas (por exemplo, \int \operatorname{sen}u\,du). A ideia é simples e baseada na regra da cadeia invertida para integrais.

Passo 3

Faço a substituição \,u=5x. Então derivando ambos os lados obtemos
du = 5\,dx.
Isolando dx vem
dx = \frac{du}{5}.
Agora substituímos na integral original. A integral
\int \operatorname{sen}(5x)\,dx
torna-se, trocando 5x por u e dx por \dfrac{du}{5},
\int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Agora precisamos saber a integral básica de \operatorname{sen}u. Lembrando que a derivada da função cosseno é \dfrac{d}{du}\cos u = -\operatorname{sen}u. Isso implica que a integral de \operatorname{sen}u é -\cos u (porque derivando -\cos u volta \operatorname{sen}u). Portanto
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos u + C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{5} que apareceu antes, obtemos
\frac{1}{5}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{5}\bigl(-\cos u\bigr) + C = -\frac{1}{5}\cos u + C.

Passo 5

Voltamos à variável original usando u=5x. Substituindo de volta:
-\frac{1}{5}\cos u + C = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C.
Esse é o antiderivado desejado. Para ficar mais seguro, posso verificar rapidamente: derivando -\dfrac{1}{5}\cos(5x) pelo teorema da cadeia, obtemos
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right) = -\frac{1}{5}\bigl(-\sin(5x)\cdot 5\bigr) = \sin(5x),
ou seja, recuperamos exatamente o integrando, então está correto."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[

Resposta

-\dfrac{1}{5}\cos(5x)+C

Exercícios relacionados