Calcule a integrais indefinidas
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função
. Ou seja, devemos encontrar uma função
tal que
. A informação dada é apenas a expressão do integrando:
. Não há limites (é indefinida), então a resposta terá uma constante de integração
.
Passo 2
Estratégia: quando temos uma função trigonométrica com uma expressão linear dentro, como
, é natural usar a substituição
a parte interna (aqui
). Vou explicar por que isso funciona: a técnica de substituição transforma a integral em termos de
, e aí usamos integrais básicas (por exemplo,
). A ideia é simples e baseada na regra da cadeia invertida para integrais.
Passo 3
Faço a substituição
. Então derivando ambos os lados obtemos
Isolando
vem
Agora substituímos na integral original. A integral
torna-se, trocando
por
e
por
,
Passo 4
Agora precisamos saber a integral básica de
. Lembrando que a derivada da função cosseno é
. Isso implica que a integral de
é
(porque derivando
volta
). Portanto
Multiplicando pelo fator
que apareceu antes, obtemos
Passo 5
Voltamos à variável original usando
. Substituindo de volta:
Esse é o antiderivado desejado. Para ficar mais seguro, posso verificar rapidamente: derivando
pelo teorema da cadeia, obtemos
ou seja, recuperamos exatamente o integrando, então está correto."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[