Calcule a integrais indefinidas
\int 5 e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 5 e^{-x}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é 5 e^{-x}. O resultado deve ser uma primitiva dessa função, isto é, uma função cuja derivada dá 5 e^{-x}. Também devemos incluir a constante de integração (uma constante arbitrária).

Passo 2

Regra útil: a integral é linear, então constantes multiplicativas podem sair da integral. Em fórmula:
\int k f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx,
onde k é uma constante real e f(x) é uma função. Isso significa que posso “fatorar” o 5 para fora da integral. Exemplo rápido: \int 3\sin x\,dx = 3\int \sin x\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
\int 5 e^{-x}\,dx = 5 \int e^{-x}\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular \int e^{-x}\,dx. Existe uma fórmula geral muito prática:
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a} e^{a x} + C,\quad a\neq 0,
onde a é um número real e C é a constante de integração. (Essa fórmula funciona porque, ao derivar \frac{1}{a}e^{ax}, obtemos e^{ax}: \frac{d}{dx}\big(\tfrac{1}{a}e^{ax}\big)=\tfrac{1}{a}\cdot a e^{ax}=e^{ax}.)
No nosso caso, a=-1. Aplicando a fórmula:
\int e^{-x}\,dx = \frac{1}{-1} e^{-x} + C = -e^{-x} + C.
Observação alternativa (substituição rápida): com u=-x temos du=-dx, então \int e^{-x}\,dx=\int e^{u}(-du)=-\int e^u du=-e^u+C=-e^{-x}+C. É o mesmo resultado.

Passo 5

Voltando ao fator 5 que puxamos para fora:
5 \int e^{-x}\,dx = 5\big(-e^{-x} + C\big) = -5 e^{-x} + 5C.
Como 5C é outra constante arbitrária, podemos escrever simplesmente +C no final. Assim a primitiva fica
-5 e^{-x} + C.

Passo 6

Cheque rápido por diferenciação (verificação): derivando -5 e^{-x}+C obtemos
\frac{d}{dx}\big(-5 e^{-x}+C\big) = -5\cdot(-e^{-x}) + 0 = 5 e^{-x},
que é exatamente a integranda. Logo está correto. Força aí — você já consegue fazer integrais desse tipo na prova!

Resposta

-5 e^{-x} + C

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