Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \frac{x \cdot \ln \left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função
\frac{x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{x^{2}+1}
ou seja
\int \frac{x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{x^{2}+1}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois percebemos que a derivada de \ln(x^{2}+1) aparece multiplicada por x/(x^{2}+1).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Então
du = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx,
isto é,
\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{x^{2}+1}\,dx = \int u\;\frac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}\int u\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\tfrac{1}{2}\int u\,du = \tfrac{1}{2}\cdot \frac{u^{2}}{2} + C = \frac{u^{2}}{4} + C.
Voltando à variável x, temos
u = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{4}\bigl[\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr]^{2} + C.

Passo 4

Se quisermos a integral definida de x=a até x=b, basta usar a primitiva
F(x)=\frac{1}{4}\bigl[\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr]^{2}
e calcular
\int_{a}^{b}\frac{x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{x^{2}+1}\,dx =F(b)-F(a) =\frac{1}{4}\Bigl[\bigl(\ln(b^{2}+1)\bigr)^{2}-\bigl(\ln(a^{2}+1)\bigr)^{2}\Bigr].

Resposta

\int \frac{x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{4}\bigl[\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr]^{2} + C,
\int_{a}^{b}\frac{x\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{4}\Bigl[\bigl(\ln(b^{2}+1)\bigr)^{2}-\bigl(\ln(a^{2}+1)\bigr)^{2}\Bigr].

Exercícios relacionados