Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int x \arcsin (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\,\arcsin(x)\,dx.
O conteúdo principal que vamos usar é integração por partes, além das fórmulas conhecidas \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx=\arcsin(x)
e \displaystyle \int\sqrt{1 - x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2}+\frac{1}{2}\arcsin(x).

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u=\arcsin(x),\quad dv=x\,dx.
Então
du=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx, \quad v=\frac{x^2}{2}.
Logo
\int x\,\arcsin(x)\,dx =\frac{x^2}{2}\,\arcsin(x) -\int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx.

Passo 3

Vamos simplificar
\int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx.
Escrevemos x^2=1-(1-x^2), obtendo
\int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx =\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx -\int \sqrt{1 - x^2}\,dx.
Usando as fórmulas conhecidas:
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx=\arcsin(x), \qquad \int \sqrt{1 - x^2}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2}+\frac{1}{2}\arcsin(x),
segue que
\int \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx =\arcsin(x) -\Bigl(\frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2}+\frac{1}{2}\arcsin(x)\Bigr) =\frac{1}{2}\arcsin(x)-\frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2}.

Passo 4

Substituindo de volta na fórmula da integração por partes:
\int x\,\arcsin(x)\,dx =\frac{x^2}{2}\,\arcsin(x) -\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2}\arcsin(x)-\frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2}\Bigr)+C.
Desenvolvendo e combinando termos:
\int x\,\arcsin(x)\,dx =\frac{x^2}{2}\arcsin(x) -\frac{1}{4}\arcsin(x) +\frac{x}{4}\sqrt{1 - x^2}+C =\frac{2x^2-1}{4}\,\arcsin(x) +\frac{x}{4}\sqrt{1 - x^2}+C.

Resposta

\boxed{\int x\,\arcsin(x)\,dx =\frac{2x^2-1}{4}\,\arcsin(x) +\frac{x}{4}\sqrt{1 - x^2}+C.}

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