Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \frac{1}{\left(1+e^{x}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (ou antiderivada) de
\frac{1}{\bigl(1+e^{x}\bigr)^{2}}
ou seja, calcular
\int \frac{1}{\bigl(1+e^{x}\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal é usar uma mudança de variável para simplificar o denominador e depois resolver por frações parciais.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = 1 + e^{x},
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dt = e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{dt}{e^{x}} = \frac{dt}{t - 1}.
Em termos de t, o integrando vira
\frac{1}{t^{2}}\cdot \frac{1}{t-1}\,dt = \frac{1}{t^{2}(t-1)}\,dt.

Passo 3

Decompondo em frações parciais:
\frac{1}{t^{2}(t-1)} =\frac{A}{t}+\frac{B}{t^{2}}+\frac{C}{t-1}.
Multiplicando por t^{2}(t-1)\) e igualando coeficientes, obtemos \[1 = A\,t\,(t-1) + B\,(t-1) + C\,t^{2} = (A+C)\,t^{2} + (B - A)\,t - B.
Igualando a cada grau:
\begin{cases} A + C = 0,\\\ B - A = 0,\\\\ -\,B = 1, \end{cases}
de onde B=-1\], \(A=-1 e C=1. Portanto
\frac{1}{t^{2}(t-1)} =-\frac{1}{t} \;-\;\frac{1}{t^{2}} \;+\;\frac{1}{t-1}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int \Bigl(-\frac{1}{t} - \frac{1}{t^{2}} + \frac{1}{t-1}\Bigr)\,dt = -\ln\lvert t\lvert + \frac{1}{t} + \ln\lvert t-1\lvert + C.

Passo 5

Voltando a x com t=1+e^{x}:
-\ln\bigl(1+e^{x}\bigr) + \frac{1}{1+e^{x}} + \ln\bigl(e^{x}\bigr) + C = x - \ln\bigl(1+e^{x}\bigr) + \frac{1}{1+e^{x}} + C.

Resposta

\int \frac{1}{\bigl(1+e^{x}\bigr)^{2}}\,dx = x \;-\;\ln\bigl(1+e^{x}\bigr) \;+\;\frac{1}{1+e^{x}} \;+\;C.

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