Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{1-\frac{1}{x}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{1-\frac{1}{x}}}\,dx,
ou seja, é uma integral indefinida envolvendo funções racionais e uma raiz. Vamos usar uma substituição que simplifique a raiz.

Passo 2

Note que dentro da raiz aparece 1-\tfrac1x. Definimos
u = \sqrt{1-\frac{1}{x}}.
Então
u^{2} = 1 - \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x} = 1 - u^{2} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{1 - u^{2}}.

Passo 3

Agora vamos computar dx em função de du. Como
x = (1 - u^{2})^{-1},
temos
\frac{dx}{du} = \frac{d}{du}\bigl[(1-u^{2})^{-1}\bigr] = ( -1)\,(1-u^{2})^{-2}\,(-2u) = \frac{2u}{(1-u^{2})^{2}}.
Logo
dx = \frac{2u}{(1-u^{2})^{2}}\,du.

Passo 4

Substituímos na integral original. Repare que
x^{2} = \frac{1}{(1-u^{2})^{2}}, \qquad \sqrt{1-\frac{1}{x}} = u,
portanto
\frac{dx}{x^{2}\,\sqrt{1-\frac{1}{x}}} = \frac{\displaystyle\frac{2u}{(1-u^{2})^{2}}\,du} {\displaystyle\frac{1}{(1-u^{2})^{2}}\;u} = 2\,du.
Assim a integral fica
\int \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{1-\frac{1}{x}}}\,dx = \int 2\,du = 2u + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = \sqrt{1-\tfrac1x}. Logo
\int \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{1-\frac{1}{x}}}\,dx = 2\,\sqrt{1-\frac{1}{x}} + C.

Resposta

\boxed{\int \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{1-\frac{1}{x}}}\,dx = 2\,\sqrt{1-\frac{1}{x}} + C.}

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