Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \frac{x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\bigl(x^{2}+4\bigr)^{2}}\,dx,
que envolve o método de substituição para funções da forma \displaystyle f'(x)/[f(x)]^{n}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 4,
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du = 2x\,dx \quad\longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Em termos de u, a integral fica
\int \frac{x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\;\Bigl(\frac{1}{2}\,du\Bigr) = \frac{1}{2}\,\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Integramos u^{-2}:
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Então
\frac{1}{2}\,\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\,\bigl(-u^{-1}\bigr) = -\frac{1}{2u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = x^{2}+4, de modo que
-\frac{1}{2u} + C = -\frac{1}{2\,(x^{2}+4)} + C.

Resposta

\int \frac{x}{\bigl(x^{2}+4\bigr)^{2}}\,dx = -\frac{1}{2\,(x^{2}+4)} + C.

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