Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int x \operatorname{sec} x \tan x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \operatorname{sec} x \tan x \,dx
que é uma integral indefinida. Para resolvê-la, vamos usar o método de integração por partes, pois temos um produto de x por uma função trigonométrica.

Passo 2

No método de integração por partes, escolhemos funções u e dv de modo que
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Aqui é natural tomar
u = x, \quad dv = \operatorname{sec} x \tan x \,dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = dx,
e para v basta reconhecer que
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x \tan x
logo
v = \int \operatorname{sec} x \tan x \,dx = \operatorname{sec} x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes, obtemos
\int x \operatorname{sec} x \tan x \,dx = x\cdot \operatorname{sec} x \;-\;\int \operatorname{sec} x \,dx.

Passo 5

Falta agora calcular \int \operatorname{sec} x\,dx. É conhecido que
\int \operatorname{sec} x \,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.
Substituindo, temos
\int x \operatorname{sec} x \tan x \,dx = x \operatorname{sec} x \;-\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.

Passo 6

O enunciado também menciona integrais definidas, mas não fornece limites de integração. Sem esses limites, não é possível calcular nenhuma integral definida.

Resposta

\boxed{\int x \operatorname{sec} x \tan x \,dx = x \operatorname{sec} x \;-\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.}
Não há como calcular integrais definidas sem limites.

Exercícios relacionados