Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede primeiro a antiderivada (integral indefinida) de
\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}
e depois a integral definida desse mesmo integrando entre x=0 e x=1. O conteúdo principal aqui é a substituição para transformar a fração num monômio em u, e em seguida aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para a parte definida.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + e^{x} \quad\Longrightarrow\quad du = e^{x}\,dx.
Logo a integral indefinida fica
\int \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\,dx = \int u^{-2}\,du = -\,u^{-1} + C = -\frac{1}{1+e^{x}} + C.

Passo 3

Para a integral definida de 0 a 1, usamos a antiderivada e avaliamos nos limites:
\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{1+e^{x}}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{1+e^{1}} \;-\;\Bigl(-\frac{1}{1+e^{0}}\Bigr) = -\frac{1}{1+e} + \frac{1}{2}.

Resposta

A integral indefinida é
\int \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\,dx = -\frac{1}{1+e^{x}} + C.
A integral definida é
\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{1+e}.

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