Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

Resumindo, a gente quer achar um antiderivado de \dfrac{x}{(x+1)^2} e depois usar esse resultado para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)^2}\,dx. O plano é decompor a fração e aplicar integrais básicas de \tfrac{1}{x+1} e \tfrac{1}{(x+1)^2}.

Passo 2

Para decompor a fração, escrevemos
\frac{x}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)-1}{(x+1)^2} = \frac{1}{x+1} \;-\;\frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\lvert x+1\rvert,
\int \frac{1}{(x+1)^2}\,dx = \int (x+1)^{-2}\,dx = -\,(x+1)^{-1}.
Logo,
\int \frac{x}{(x+1)^2}\,dx = \ln\lvert x+1\rvert \;-\;\bigl(- (x+1)^{-1}\bigr) + C = \ln\lvert x+1\rvert + \frac{1}{x+1} + C.

Passo 4

Para a integral definida de 0 a 1, usamos o primitivo obtido:
\int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)^2}\,dx = \biggl[\ln(x+1) + \frac{1}{x+1}\biggr]_{0}^{1} = \Bigl(\ln 2 + \tfrac12\Bigr) - \Bigl(\ln 1 + 1\Bigr) = \ln 2 + \tfrac12 - 1 = \ln 2 - \tfrac12.

Resposta

Integral indefinida: \displaystyle \int \frac{x}{(x+1)^2}\,dx = \ln\lvert x+1\rvert + \frac{1}{x+1} + C Integral definida: \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)^2}\,dx = \ln 2 - \tfrac{1}{2}

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