Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int_{0}^{1} x \arctan x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\arctan x \,dx
e, em seguida, usar esse resultado para obter a integral definida
\int_{0}^{1} x\arctan x \,dx.
O conteúdo principal aqui é a integração por partes.

Passo 2

Para a integral indefinida, escolhemos
u = \arctan x,\quad dv = x\,dx.
Então
du = \frac{1}{1+x^2}\,dx,\quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Pela fórmula de partes,
\int x\arctan x \,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^2}{2}\arctan x - \int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{1+x^2}\,dx.

Passo 3

Note que
\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2},
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\int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{1+x^2}\,dx = \frac12\int\Bigl(1 - \frac{1}{1+x^2}\Bigr)\,dx = \frac12\Bigl(x - \arctan x\Bigr).
Substituindo de volta, obtemos
\int x\arctan x \,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac12\bigl(x - \arctan x\bigr) + C = \frac{x^2+1}{2}\,\arctan x - \frac{x}{2} + C.

Passo 4

Para a integral definida de 0 a 1, usamos o antiderivado
F(x) = \frac{x^2+1}{2}\,\arctan x - \frac{x}{2}.
Então
\int_{0}^{1} x\arctan x \,dx = F(1) - F(0).
Calculando:
F(1) = \frac{1^2+1}{2}\,\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2}\,\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2},
F(0) = \frac{0^2+1}{2}\cdot 0 - 0 = 0.
Portanto,
\int_{0}^{1} x\arctan x \,dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.

Resposta

\int x\arctan x \,dx = \frac{x^2+1}{2}\,\arctan x - \frac{x}{2} + C, \quad \int_{0}^{1} x\arctan x \,dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.

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