Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int \operatorname{sen}^{2}(\pi t) \cos ^{5}(\pi t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}(\pi t)\,\cos^{5}(\pi t)\,dt
O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas; vamos usar uma identidade para reduzir a potência par e uma substituição para integrar de forma direta.

Passo 2

Observe que a potência de \cos é ímpar. Podemos separar um fator \cos(\pi t) e escrever
\operatorname{sen}^{2}(\pi t)\,\cos^{5}(\pi t) =\operatorname{sen}^{2}(\pi t)\,\bigl(\cos^{4}(\pi t)\bigr)\,\cos(\pi t)
e usar a identidade \cos^{4}x=(1-\operatorname{sen}^{2}x)^{2}.

Passo 3

Fazendo a identificação
u=\operatorname{sen}(\pi t) \quad\Longrightarrow\quad du=\pi\,\cos(\pi t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad \cos(\pi t)\,dt=\frac{du}{\pi},
substituímos na integral:
\int \operatorname{sen}^{2}(\pi t)\,\cos^{5}(\pi t)\,dt =\int u^{2}\,(1-u^{2})^{2}\,\frac{du}{\pi} =\frac{1}{\pi}\int u^{2}(1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expandindo o integrando em u:
u^{2}(1-u^{2})^{2} =u^{2}(1-2u^{2}+u^{4}) =u^{2}-2u^{4}+u^{6}.
Logo
\frac{1}{\pi}\int u^{2}(1-u^{2})^{2}\,du =\frac{1}{\pi}\int\bigl(u^{2}-2u^{4}+u^{6}\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3},\quad \int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5},\quad \int u^{6}\,du=\frac{u^{7}}{7}.
Portanto
\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{u^{3}}{3}-2\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}\Bigr)+C.

Passo 6

Voltando a t pela substituição u=\operatorname{sen}(\pi t), obtemos
\int \operatorname{sen}^{2}(\pi t)\,\cos^{5}(\pi t)\,dt =\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{\operatorname{sen}^{3}(\pi t)}{3}-\frac{2\,\operatorname{sen}^{5}(\pi t)}{5}+\frac{\operatorname{sen}^{7}(\pi t)}{7}\Bigr)+C.

Resposta

\boxed{ \int \operatorname{sen}^{2}(\pi t)\,\cos^{5}(\pi t)\,dt =\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{\operatorname{sen}^{3}(\pi t)}{3}-\frac{2\,\operatorname{sen}^{5}(\pi t)}{5}+\frac{\operatorname{sen}^{7}(\pi t)}{7}\Bigr)+C }

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