Calcule a integral de superfície.
\iint_{S}(x+y+z) d S, S é o cone com equações paramétricas x=u \cos v, y=u \operatorname{senv}, z=u, 0 \leq u \geq 1,0 \leq v \geq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}(x+y+z)\,dS
onde S é o cone dado pela parametrização
x = u\cos v,\quad y = u\sin v,\quad z = u,
com 0\le u\le1 e 0\le v\le\tfrac{\pi}{2}.
O conteúdo aqui é integral de superfície em coordenadas paramétricas: vamos precisar da magnitudo de \mathbf r_u\times\mathbf r_v e da expressão de x+y+z em (u,v).

Passo 2

Definimos o vetor de parametrização
\mathbf r(u,v) = \bigl(u\cos v,\;u\sin v,\;u\bigr)
sobre o domínio
D = \{(u,v)\mid 0\le u\le1,\;0\le v\le\tfrac{\pi}{2}\}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e o vetor normal:
\mathbf r_u = (\cos v,\;\sin v,\;1), \quad \mathbf r_v = (-u\sin v,\;u\cos v,\;0).
O produto vetorial é
\mathbf r_u\times\mathbf r_v = \bigl(-u\cos v,\;-u\sin v,\;u\bigr),
cuja magnitudo é
\bigl\lVert\mathbf r_u\times\mathbf r_v\bigr\rVert = \sqrt{u^2\cos^2v + u^2\sin^2v + u^2} = u\sqrt2.
Logo dS = u\sqrt2\,du\,dv.

Passo 4

Expressamos o integrando em termos de u,v:
x+y+z = u\cos v + u\sin v + u = u\bigl(\cos v + \sin v + 1\bigr).

Passo 5

Montamos a integral dupla em D:
\iint_{S}(x+y+z)\,dS = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1} \bigl[u(\cos v + \sin v + 1)\bigr]\,(u\sqrt2)\,du\,dv = \sqrt2\int_{0}^{\pi/2}\!\!\bigl(\cos v + \sin v +1\bigr)dv \int_{0}^{1}u^2\,du.

Passo 6

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{1}u^2\,du = \frac13, \quad \int_{0}^{\pi/2}(\cos v + \sin v +1)\,dv = \bigl[\sin v - \cos v + v\bigr]_{0}^{\pi/2} = (1 - 0) + (0 - (-1)) + \frac{\pi}{2} = 2 + \frac{\pi}{2}.
Portanto
\iint_{S}(x+y+z)\,dS = \sqrt2\cdot\frac{1}{3}\Bigl(2+\frac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{\sqrt2\,(4+\pi)}{6}.

Resposta

\frac{\sqrt2\,(4+\pi)}{6}

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