Calcule a integral de superfície. \iint_{S}(x+y+z) d S, S é o cone com equações paramétricas x=u \cos v, y=u \operatorname{senv}, z=u, 0 \leq u \geq 1,0 \leq v \geq \frac{\pi}{2}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}(x+y+z)\,dS
onde S é o cone dado pela parametrização
x = u\cos v,\quad y = u\sin v,\quad z = u,
com 0\le u\le1 e 0\le v\le\tfrac{\pi}{2}.
O conteúdo aqui é integral de superfície em coordenadas paramétricas: vamos precisar da magnitudo de \mathbf r_u\times\mathbf r_v e da expressão de x+y+z em (u,v).
x+y+z = u\cos v + u\sin v + u = u\bigl(\cos v + \sin v + 1\bigr).
Passo 5
Montamos a integral dupla em D:
\iint_{S}(x+y+z)\,dS = \int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1} \bigl[u(\cos v + \sin v + 1)\bigr]\,(u\sqrt2)\,du\,dv = \sqrt2\int_{0}^{\pi/2}\!\!\bigl(\cos v + \sin v +1\bigr)dv \int_{0}^{1}u^2\,du.
Passo 6
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{1}u^2\,du = \frac13, \quad \int_{0}^{\pi/2}(\cos v + \sin v +1)\,dv = \bigl[\sin v - \cos v + v\bigr]_{0}^{\pi/2} = (1 - 0) + (0 - (-1)) + \frac{\pi}{2} = 2 + \frac{\pi}{2}.