Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int x \arcsin (x) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
\int x\arcsin(x)\,dx
e em seguida usar o teorema fundamental do cálculo para obter a integral definida de 0 a 1
\int_{0}^{1} x\arcsin(x)\,dx
O conteúdo principal envolve integração por partes e a integral de \sqrt{1-x^2}.

Passo 2

Aplicamos o método de integração por partes escolhendo
u=\arcsin(x),\quad dv=x\,dx.
Então
du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx,\quad v=\frac{x^2}{2}.
Pela fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du
temos
\int x\arcsin(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\arcsin(x) - \int \frac{x^2}{2}\,\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 3

Para calcular
\int \frac{x^2}{2\sqrt{1-x^2}}\,dx
usamos a identidade x^2 = 1 - (1-x^2), portanto
\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \;-\; \sqrt{1-x^2}.
Logo
\int \frac{x^2}{2\sqrt{1-x^2}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{2}\int \sqrt{1-x^2}\,dx.
Sabemos que
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(x) \quad\text{e}\quad \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin(x).
Substituindo, obtemos
\int \frac{x^2}{2\sqrt{1-x^2}}\,dx = \frac{1}{4}\arcsin(x) - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2}.

Passo 4

Voltando à integral original:
\int x\arcsin(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\arcsin(x) - \Bigl(\frac{1}{4}\arcsin(x) - \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2}\Bigr) + C.
Isso simplifica para
\int x\arcsin(x)\,dx = \Bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}\Bigr)\arcsin(x) + \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C.

Passo 5

Para a integral definida de 0 a 1 usamos a antiderivada acima. Em x=1 vale \arcsin(1)=\tfrac{\pi}{2} e \sqrt{1-1^2}=0. Em x=0 ambos os termos anulam. Logo
\int_{0}^{1} x\arcsin(x)\,dx = \frac{\pi}{8}.

Resposta

A integral indefinida é
\int x\arcsin(x)\,dx = \Bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{4}\Bigr)\arcsin(x) + \frac{x}{4}\sqrt{1-x^2} + C.
A integral definida de 0 a 1 é
\int_{0}^{1} x\arcsin(x)\,dx = \frac{\pi}{8}.

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