Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int x^{2} \cos \left(x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx
ou seja, é uma integral indefinida de uma função composta. O conteúdo principal aqui é o método de integração por substituição, pois reconhecemos que a derivada de x^{3} aparece como fator multiplicativo.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3}
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du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Com isso, a integral em x vira uma integral em u de \cos(u) multiplicada por 1/3.

Passo 3

Reescrevendo:
\int x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.
Agora basta integrar \cos(u):
\frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\,\sin(u) + C.
Voltando à variável x:
\frac{1}{3}\,\sin\bigl(x^{3}\bigr) + C.

Passo 4

Se fosse uma integral definida de a até b, aplicaríamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{a}^{b} x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = \left.\frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}\bigr)\right|_{a}^{b} = \frac{1}{3}\bigl[\sin(b^{3}) - \sin(a^{3})\bigr].

Resposta

A integral indefinida é \displaystyle \frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}\bigr)+C.
A integral definida de a até b é \displaystyle \frac{1}{3}\bigl[\sin(b^{3}) - \sin(a^{3})\bigr].

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