Calcule as integrais indefinidas e integrais definidas.
\int_{\pi / 6}^{\pi / 2} \operatorname{cotg}^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede primeiro a integral indefinida
\int \cot^3 x \,dx
e depois a integral definida
\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cot^3 x \,dx.
O conteúdo principal é uso de identidades trigonométricas e substituição.

Passo 2

Usamos a identidade
\cot^3 x = \cot x\,\bigl(\csc^2 x - 1\bigr),
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\int \cot^3 x \,dx = \int \cot x\,\csc^2 x \,dx \;-\;\int \cot x \,dx.

Passo 3

Para a primeira parte fazemos u=\cot x\implies du=-\csc^2 x\,dx, então
\int \cot x\,\csc^2 x\,dx = \int u\,(-du) = -\frac{u^2}{2} = -\frac{\cot^2 x}{2}.
Para a segunda parte usamos a fórmula padrão
\int \cot x \,dx = \ln\bigl|\sin x\bigr|.

Passo 4

Juntando os dois resultados, obtemos a primitiva geral
\int \cot^3 x \,dx = -\frac{\cot^2 x}{2} \;-\;\ln\bigl|\sin x\bigr| + C.

Passo 5

Definida a primitiva
F(x)=-\tfrac12\cot^2 x-\ln\bigl|\sin x\bigr|,
avaliamos em x=\pi/2 e x=\pi/6:
F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =-\tfrac12\cdot0^2-\ln(1)=0, \quad F\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =-\tfrac12\cdot(\sqrt3)^2-\ln\bigl(\tfrac12\bigr) =-\tfrac32 -(-\ln2) =-\tfrac32+\ln2.
Portanto,
\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cot^3 x\,dx =F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-F\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) =0-\bigl(-\tfrac32+\ln2\bigr) =\tfrac32-\ln2.

Resposta

\int \cot^3 x \,dx = -\frac{\cot^2 x}{2} - \ln\bigl|\sin x\bigr| + C
\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cot^3 x \,dx = \frac32 - \ln2

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