Encontre o cosseno do ângulo entre o vetor unitário j e o vetor tangente unitário à curva
σ(t) = cos(2t) i - 3t j + 2 sen(2t) k no ponto t = pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o cosseno do ângulo entre o vetor unitário j e o vetor tangente unitário à curva no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas de vetores para achar o vetor tangente e depois calcular o cosseno do ângulo usando produto escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor tangente à curva sigma(t). O vetor tangente é a derivada de sigma(t) em relação a t. Vamos derivar cada componente:
Calculando as derivadas:
Agora, vamos avaliar no ponto :
Sabemos que e , então:

Passo 3

Agora, precisamos transformar o vetor tangente em um vetor unitário. Para isso, calculamos o módulo de :
Então, o vetor tangente unitário T é:

Passo 4

Agora, para encontrar o cosseno do ângulo entre j e T, usamos a fórmula do produto escalar:
Como j e T são vetores unitários, e . Então, simplifica para:
Calculando o produto escalar:

Resposta

O cosseno do ângulo entre j e o vetor tangente unitário à curva no ponto é .

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