Encontre o cosseno do ângulo entre o vetor unitário
e o vetor tangente unitário à curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o cosseno do ângulo entre o vetor unitário
e o vetor tangente unitário à curva no ponto onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas de vetores para achar o vetor tangente e depois calcular o cosseno do ângulo usando produto escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor tangente à curva
. O vetor tangente é a derivada de
em relação a
. Vamos derivar cada componente:
Calculando as derivadas:
Agora, vamos avaliar
no ponto
:
Sabemos que e
, então:
Passo 3
Agora, precisamos transformar o vetor tangente
em um vetor unitário. Para isso, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor tangente unitário
é:
Passo 4
Agora, para encontrar o cosseno do ângulo entre
e
, usamos a fórmula do produto escalar:
Como
e
são vetores unitários,
e
. Então, simplifica para:
Calculando o produto escalar:
Resposta
O cosseno do ângulo entre
e o vetor tangente unitário à curva no ponto
é
.