Calcule as integrais indefinidas:
\int\left(\cos \frac{x}{2}+e^{-5 x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\cos\frac{x}{2}+e^{-5x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é a soma de duas partes: \cos\frac{x}{2} e e^{-5x}.
  • É uma integral indefinida, então a resposta deve ser uma primitiva (antiderivada) mais uma constante arbitrária C.

Passo 2

Estratégia inicial: usar a propriedade linear da integral, que diz que a integral da soma é a soma das integrais. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
Aplicando isso ao nosso caso:
\int\left(\cos\frac{x}{2}+e^{-5x}\right)\,dx = \int\cos\frac{x}{2}\,dx+\int e^{-5x}\,dx.
Vamos calcular cada integral separadamente, com cuidado nas substituições.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \int\cos\frac{x}{2}\,dx.
Usa-se a substituição \displaystyle u=\frac{x}{2}. Então
du=\frac{1}{2}\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=2\,du.
Substituindo:
\int\cos\frac{x}{2}\,dx=\int\cos(u)\cdot 2\,du=2\int\cos(u)\,du.
A primitiva de \cos(u) é \sin(u), logo
2\int\cos(u)\,du=2\sin(u)+C_1=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)+C_1.
Verificação rápida (derivada): \dfrac{d}{dx}\! \left[2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]=2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot\dfrac{1}{2}=\cos\left(\dfrac{x}{2}\right), perfeito.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \int e^{-5x}\,dx.
Pode-se usar a substituição \displaystyle v=-5x. Então
dv=-5\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=-\frac{1}{5}\,dv.
Substituindo:
\int e^{-5x}\,dx=\int e^{v}\left(-\frac{1}{5}\right)\,dv=-\frac{1}{5}\int e^{v}\,dv.
A primitiva de e^{v} é e^{v}, portanto
-\frac{1}{5}\int e^{v}\,dv=-\frac{1}{5}e^{v}+C_2=-\frac{1}{5}e^{-5x}+C_2.
Também se pode lembrar a fórmula direta \displaystyle \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C. Com a=-5 obtém-se -\dfrac{1}{5}e^{-5x}+C, mesmo resultado.

Passo 5

Juntando as duas primitivas e consolidando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C, obtemos a antiderivada geral:
2\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{5}e^{-5x}+C.
Dica rápida para a prova: sempre que aparecer \cos(kx) ou \sin(kx), pense em u=kx e lembre que aparece um fator 1/k ao integrar; para e^{ax} a primitiva é \dfrac{1}{a}e^{ax}.

Resposta

2\sin\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{5}e^{-5x}+C

Exercícios relacionados