Calcule as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a ser integrada é a soma de duas partes:
e . - É uma integral indefinida, então a resposta deve ser uma primitiva (antiderivada) mais uma constante arbitrária
.
Passo 2
Estratégia inicial: usar a propriedade linear da integral, que diz que a integral da soma é a soma das integrais. Em fórmulas:
Aplicando isso ao nosso caso:
Vamos calcular cada integral separadamente, com cuidado nas substituições.
Passo 3
Cálculo de
.
Usa-se a substituição
. Então
Substituindo:
A primitiva de
é
, logo
Verificação rápida (derivada):
, perfeito.
Passo 4
Cálculo de
.
Pode-se usar a substituição
. Então
Substituindo:
A primitiva de
é
, portanto
Também se pode lembrar a fórmula direta
. Com
obtém-se
, mesmo resultado.
Passo 5
Juntando as duas primitivas e consolidando as constantes
e
numa única constante
, obtemos a antiderivada geral:
Dica rápida para a prova: sempre que aparecer
ou
, pense em
e lembre que aparece um fator
ao integrar; para
a primitiva é
.