Calcule as integrais indefinidas:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva desta função, ou seja, uma expressão
tal que . - Deve ser acrescentada a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão algébrica do integrando, dividindo cada termo do numerador por
. Usando a regra de potências
, temos:
Passo 3
Calcule cada fração separadamente:
Logo o integrando fica
Passo 4
Agora usamos as regras básicas de integração:
- Regra da linearidade:
, onde são constantes. - Regra da potência (para
): . - Caso especial
: .
Explicando rápido: em
a ideia é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente; mas isso falha quando o novo expoente é zero (ou seja, quando
), daí aparece o
.
Passo 5
Aplicando a linearidade e as regras ao nosso integrando:
Passo 6
Calcule cada integral:
- Para
usa-se o caso especial, portanto . - Para
, aqui , então pela regra da potência:
Substituindo:
Passo 7
Simplificando a notação
, obtemos a primitiva final:
Como verificação rápida, derivando essa expressão volta-se ao integrando original (conforte-se: eu também sempre faço essa checagem quando estou na prova).