Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{x^{3}+x^{2}}{3 x^{4}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+x^{2}}{3 x^{4}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{x^{3}+x^{2}}{3x^{4}}.
  • Quer-se uma primitiva desta função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{3}+x^{2}}{3x^{4}}.
  • Deve ser acrescentada a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão algébrica do integrando, dividindo cada termo do numerador por 3x^{4}. Usando a regra de potências \dfrac{x^{a}}{x^{b}}=x^{a-b}, temos:
\frac{x^{3}+x^{2}}{3x^{4}}=\frac{x^{3}}{3x^{4}}+\frac{x^{2}}{3x^{4}}.

Passo 3

Calcule cada fração separadamente:
\frac{x^{3}}{3x^{4}}=\frac{1}{3}x^{3-4}=\frac{1}{3}x^{-1}, \qquad \frac{x^{2}}{3x^{4}}=\frac{1}{3}x^{2-4}=\frac{1}{3}x^{-2}.
Logo o integrando fica
\frac{x^{3}+x^{2}}{3x^{4}}=\frac{1}{3}x^{-1}+\frac{1}{3}x^{-2}.

Passo 4

Agora usamos as regras básicas de integração:
  • Regra da linearidade: \displaystyle \int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx, onde a,b são constantes.
  • Regra da potência (para n\neq -1): \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • Caso especial n=-1: \displaystyle \int x^{-1}\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Explicando rápido: em \int x^{n}\,dx a ideia é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente; mas isso falha quando o novo expoente é zero (ou seja, quando n=-1), daí aparece o \ln|x|.

Passo 5

Aplicando a linearidade e as regras ao nosso integrando:
\int\left(\frac{1}{3}x^{-1}+\frac{1}{3}x^{-2}\right)\,dx =\frac{1}{3}\int x^{-1}\,dx+\frac{1}{3}\int x^{-2}\,dx.

Passo 6

Calcule cada integral:
  • Para \displaystyle \int x^{-1}\,dx usa-se o caso especial, portanto \displaystyle \int x^{-1}\,dx=\ln|x|.
  • Para \displaystyle \int x^{-2}\,dx, aqui n=-2\neq -1, então pela regra da potência:
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}.
Substituindo:
\frac{1}{3}\int x^{-1}\,dx+\frac{1}{3}\int x^{-2}\,dx =\frac{1}{3}\ln|x|+\frac{1}{3}\left(-x^{-1}\right)+C.

Passo 7

Simplificando a notação x^{-1}=1/x, obtemos a primitiva final:
\frac{1}{3}\ln|x|-\frac{1}{3x}+C.
Como verificação rápida, derivando essa expressão volta-se ao integrando original (conforte-se: eu também sempre faço essa checagem quando estou na prova).

Resposta

\dfrac{1}{3}\ln|x|-\dfrac{1}{3x}+C

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