Usando integraçād por partes, calcule a integral indefinida:
\begin{aligned} & \int x^{2} \cos x d x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\cos x\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x^{2}\cos x.
  • O problema exige explicitamente o uso de integração por partes.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada), isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{2}\cos x. A resposta final deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Apresentar a fórmula de integração por partes e explicar de onde vem.
A regra de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, a regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x e reorganizando, obtemos a fórmula de integração por partes. Substituindo u'=du/dx e v' = dv/dx e integrando:
\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx.
Na prática, escrevemos a fórmula em termos de u e dv:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde du é a diferencial de u (ou seja, du = u'(x)\,dx) e v é uma primitiva de dv (ou seja, v=\int dv). Explicando as variáveis:
  • u é uma função que escolhemos para diferenciar (calculamos du);
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (encontramos v tal que dv = v'(x)\,dx);
  • A escolha de u e dv é estratégica: costuma-se escolher u de forma que sua derivada du seja mais simples; por exemplo, polinômios são boas escolhas para u porque derivam para polinômios de grau menor.

Passo 3

Escolher u e dv para a integral dada. Como a integranda é x^{2}\cos x, uma escolha natural (e padrão) é:
u = x^{2},\qquad dv = \cos x\,dx.
Motivação: x^{2} é um polinômio e ao derivá-lo ficamos com 2x, que é mais simples; \cos x é fácil de integrar. Agora calcule du e v:
du = \frac{d}{dx}(x^{2})\,dx = 2x\,dx, \qquad v = \int \cos x\,dx = \sin x.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int x^{2}\cos x\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo os valores de u, v e du:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \int \sin x\cdot(2x\,dx).
Escrevendo de forma mais clara:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - 2\int x\sin x\,dx.
Portanto reduzimos o problema a calcular \int x\sin x\,dx.

Passo 5

Calcular \int x\sin x\,dx usando integração por partes novamente. Escolha:
u = x,\qquad dv = \sin x\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.
Aplicando a fórmula:
\int x\sin x\,dx = u v - \int v\,du = x(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx.
Simplificando:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
E integrando a última parte:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x.

Passo 6

Voltar à expressão obtida no Passo 4 e substituir o resultado do Passo 5:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - 2\Bigl(-x\cos x + \sin x\Bigr).
Distribuindo o -2:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (boa prática para provar que a primitiva está correta).
Calcular a derivada de F(x)=x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x:
F'(x) = \frac{d}{dx}(x^{2}\sin x) + \frac{d}{dx}(2x\cos x) - \frac{d}{dx}(2\sin x).
Derivando termo a termo (usando regra do produto quando necessário):
\frac{d}{dx}(x^{2}\sin x)=2x\sin x + x^{2}\cos x,
\frac{d}{dx}(2x\cos x)=2\cos x + 2x(-\sin x)=2\cos x - 2x\sin x,
\frac{d}{dx}(2\sin x)=2\cos x.
Somando:
F'(x) = \bigl(2x\sin x + x^{2}\cos x\bigr) + \bigl(2\cos x - 2x\sin x\bigr) - 2\cos x.
Os termos 2x\sin x e -2x\sin x cancelam; os termos 2\cos x e -2\cos x também cancelam. Resta:
F'(x) = x^{2}\cos x,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C

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