Usando integraçād por partes, calcule a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O problema exige explicitamente o uso de integração por partes.
- O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada), isto é, uma função
tal que . A resposta final deve incluir a constante de integração .
Passo 2
Apresentar a fórmula de integração por partes e explicar de onde vem.
A regra de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se
e
são funções diferenciáveis, a regra do produto diz:
Integrando ambos os lados em relação a
e reorganizando, obtemos a fórmula de integração por partes. Substituindo
e
e integrando:
Na prática, escrevemos a fórmula em termos de
e
:
onde
é a diferencial de
(ou seja,
) e
é uma primitiva de
(ou seja,
). Explicando as variáveis:
-
é uma função que escolhemos para diferenciar (calculamos ); -
é a parte que escolhemos para integrar (encontramos tal que ); - A escolha de
e é estratégica: costuma-se escolher de forma que sua derivada seja mais simples; por exemplo, polinômios são boas escolhas para porque derivam para polinômios de grau menor.
Passo 3
Escolher
e
para a integral dada. Como a integranda é
, uma escolha natural (e padrão) é:
Motivação:
é um polinômio e ao derivá-lo ficamos com
, que é mais simples;
é fácil de integrar. Agora calcule
e
:
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores de
,
e
:
Escrevendo de forma mais clara:
Portanto reduzimos o problema a calcular
.
Passo 5
Calcular
usando integração por partes novamente. Escolha:
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
E integrando a última parte:
Passo 6
Voltar à expressão obtida no Passo 4 e substituir o resultado do Passo 5:
Distribuindo o
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (boa prática para provar que a primitiva está correta).
Calcular a derivada de
:
Derivando termo a termo (usando regra do produto quando necessário):
Somando:
Os termos
e
cancelam; os termos
e
também cancelam. Resta:
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.