Calcule as integrais indefinidas
\int\left(x^{\frac{3}{2}}+2 x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Especificamente, temos que encontrar uma primitiva (antiderivada) de
x^{\frac{3}{2}}+2x+1.
Ou seja, calcular
\int\left(x^{\frac{3}{2}}+2x+1\right)\,dx.
Informações relevantes: a integranda é a soma de três termos \,x^{\frac{3}{2}},\,2x e 1. Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Lembrete importante (linearidade das integrais): a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx
e
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante. Aqui isso nos permite tratar cada termo separadamente:
\int\left(x^{\frac{3}{2}}+2x+1\right)\,dx = \int x^{\frac{3}{2}}\,dx + \int 2x\,dx + \int 1\,dx.
Explicando de forma simples: é como integrar cada parcela da soma e depois somar os resultados — muito prático.

Passo 3

Regra principal que vamos usar (regra da potência para integrais): para qualquer número real n diferente de -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui x^{n} significa a função cujo valor em x é x elevado à potência n; a fórmula aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente. Atenção: a fórmula não vale para n=-1 porque aí daria divisão por zero (esse caso corresponde à integral de 1/x).

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo \,x^{\frac{3}{2}}\,:
o expoente é n=\tfrac{3}{2}. Então n+1=\tfrac{3}{2}+1=\tfrac{5}{2}. Usando a fórmula,
\int x^{\frac{3}{2}}\,dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\tfrac{5}{2}} + C_1.
Dividir por \tfrac{5}{2} é o mesmo que multiplicar por \tfrac{2}{5}, então
\int x^{\frac{3}{2}}\,dx = \frac{2}{5}\,x^{\frac{5}{2}} + C_1.
Comentário sobre domínio (pra não se perder): x^{\frac{3}{2}} costuma ser entendido como (\sqrt{x})^{3}, então para obter uma primitiva real normalmente consideramos x\ge 0. Mas simbolicamente a aplicação da regra da potência funciona para manipulação algébrica.

Passo 5

Agora o segundo termo \,2x. Tirando a constante 2 para fora da integral:
\int 2x\,dx = 2\int x\,dx.
Aqui x=x^{1}, então aplicando a regra da potência com n=1 temos
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C_2.
Multiplicando por 2,
\int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2} + C_2.

Passo 6

O terceiro termo é constante 1. A integral de uma constante a é ax (mais constante de integração). Em fórmula:
\int 1\,dx = x + C_3.

Passo 7

Somando os resultados dos três termos (e combinando as constantes de integração C_1,C_2,C_3 numa única constante arbitrária C), obtemos a primitiva geral:
\int\left(x^{\frac{3}{2}}+2x+1\right)\,dx = \frac{2}{5}\,x^{\frac{5}{2}} + x^{2} + x + C.

Passo 8

Verificação rápida (dica prática para a prova): derivando o resultado devemos voltar à integranda. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}\right) = \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{3}{2}},
\frac{d}{dx}\!(x^{2}) = 2x,
\frac{d}{dx}\!(x) = 1.
Somando dá exatamente x^{\frac{3}{2}}+2x+1, ou seja, está correto. Boa prática: sempre que puder, cheque assim — dá segurança na prova.

Resposta

\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+x^{2}+x+C

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