Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Especificamente, temos que encontrar uma primitiva (antiderivada) de
Ou seja, calcular
Informações relevantes: a integranda é a soma de três termos
e
. Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Lembrete importante (linearidade das integrais): a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Em fórmulas:
e
onde
é constante. Aqui isso nos permite tratar cada termo separadamente:
Explicando de forma simples: é como integrar cada parcela da soma e depois somar os resultados — muito prático.
Passo 3
Regra principal que vamos usar (regra da potência para integrais): para qualquer número real
diferente de
,
onde
é a constante de integração. Aqui
significa a função cujo valor em
é
elevado à potência
; a fórmula aumenta o expoente em 1 e divide pelo novo expoente. Atenção: a fórmula não vale para
porque aí daria divisão por zero (esse caso corresponde à integral de
).
Passo 4
Aplicando a regra da potência ao primeiro termo
:
o expoente é . Então
. Usando a fórmula,
o expoente é
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, então
Comentário sobre domínio (pra não se perder):
costuma ser entendido como
, então para obter uma primitiva real normalmente consideramos
. Mas simbolicamente a aplicação da regra da potência funciona para manipulação algébrica.
Passo 5
Agora o segundo termo
. Tirando a constante
para fora da integral:
Aqui
, então aplicando a regra da potência com
temos
Multiplicando por
,
Passo 6
O terceiro termo é constante
. A integral de uma constante
é
(mais constante de integração). Em fórmula:
Passo 7
Somando os resultados dos três termos (e combinando as constantes de integração
numa única constante arbitrária
), obtemos a primitiva geral:
Passo 8
Verificação rápida (dica prática para a prova): derivando o resultado devemos voltar à integranda. Derivando termo a termo:
Somando dá exatamente
, ou seja, está correto. Boa prática: sempre que puder, cheque assim — dá segurança na prova.