Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar (o integrando) é
. - A variável de integração é
.
O que se pede: - Encontrar uma primitiva (antiderivada) de
, isto é, uma função tal que , e incluir a constante de integração .
Passo 2
Propriedades fundamentais que vamos usar (explicadas de forma direta):
- Linearidade da integral: para quaisquer funções
e e constantes ,
Isto significa que podemos separar a soma dentro da integral e puxar constantes para fora da integral.
Passo 3
A regra do “expoente” (power rule) para primitivas — fórmula central aqui:
- Para
,
Explicando: se você tem
elevado a uma potência
, a primitiva é
elevada a
dividida por
. O símbolo
representa a constante arbitrária de integração (porque derivada de uma constante é zero).
Passo 4
Aplicando a linearidade ao nosso integrando:
Aqui apenas separamos a diferença em duas integrais e mantivemos os coeficientes
e
fora das integrais.
Passo 5
Calcule a primeira integral
:
- Use a constante multiplicativa:
. - Agora aplique a regra do expoente com
:
- Multiplicando pela constante
:
Logo
.
Passo 6
Calcule a segunda integral
(lembrando do sinal negativo):
- Primeiro trate o coeficiente:
. - Aplique a regra do expoente com
:
- Multiplicando pelo
:
Como na integral original aparece
, isso dá
.
Passo 7
Some as duas primitivas que encontramos e acrescente a constante de integração
:
Verificação rápida (boa prática na prova): derive
:
que é exatamente o integrando dado. Portanto a primitiva está correta.