Calcule as integrais indefinidas
\int\left(2 x-3 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(2x-3x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar (o integrando) é \,2x-3x^{2}\,.
  • A variável de integração é x.
    O que se pede:
  • Encontrar uma primitiva (antiderivada) de \,2x-3x^{2}\,, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=2x-3x^{2}, e incluir a constante de integração C.

Passo 2

Propriedades fundamentais que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Linearidade da integral: para quaisquer funções f e g e constantes a,b,
\int\big(a f(x) + b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto significa que podemos separar a soma dentro da integral e puxar constantes para fora da integral.

Passo 3

A regra do “expoente” (power rule) para primitivas — fórmula central aqui:
  • Para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicando: se você tem x elevado a uma potência n, a primitiva é x elevada a n+1 dividida por n+1. O símbolo C representa a constante arbitrária de integração (porque derivada de uma constante é zero).

Passo 4

Aplicando a linearidade ao nosso integrando:
\int\left(2x-3x^{2}\right)\,dx = \int 2x\,dx \;-\; \int 3x^{2}\,dx.
Aqui apenas separamos a diferença em duas integrais e mantivemos os coeficientes 2 e 3 fora das integrais.

Passo 5

Calcule a primeira integral \int 2x\,dx:
  • Use a constante multiplicativa: \int 2x\,dx = 2\int x\,dx.
  • Agora aplique a regra do expoente com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
  • Multiplicando pela constante 2:
2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
Logo \int 2x\,dx = x^{2}.

Passo 6

Calcule a segunda integral \int 3x^{2}\,dx (lembrando do sinal negativo):
  • Primeiro trate o coeficiente: \int 3x^{2}\,dx = 3\int x^{2}\,dx.
  • Aplique a regra do expoente com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3}}{3}.
  • Multiplicando pelo 3:
3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{3}.
Como na integral original aparece -\int 3x^{2}\,dx, isso dá -x^{3}.

Passo 7

Some as duas primitivas que encontramos e acrescente a constante de integração C:
\int\left(2x-3x^{2}\right)\,dx = x^{2} - x^{3} + C.
Verificação rápida (boa prática na prova): derive F(x)=x^{2}-x^{3}:
F'(x)=2x-3x^{2},
que é exatamente o integrando dado. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\,x^{2}-x^{3}+C\,

Exercícios relacionados