Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a substituição de Weierstrass quando conveniente.
\int \frac{d x}{2+\operatorname{sen} x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{2+\operatorname{sen} x}.
Informações dadas: a integral está em função de x e envolve a função seno no denominador. Não há outras condições (domínio, valores numéricos, etc.). O objetivo é encontrar uma primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Motivação e introdução à substituição de Weierstrass (aula rápida e prática).
A substituição de Weierstrass é útil para integrais com funções trigonométricas racionais (seno, cosseno, etc.). Define-se
t=\tan\!\left(\frac{x}{2}\right).
As fórmulas padrão decorrentes dessa substituição são (vou explicar cada uma):
  • \operatorname{sen} x=\dfrac{2t}{1+t^{2}}. Isso vem das identidades trigonométricas e da relação entre seno e tangente do ângulo metade.
  • \cos x=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}. Mesma origem: identidades de dupla/ metade de ângulo.
  • dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^{2}}. Isso vem de x=2\arctan t, então dx=2\cdot\dfrac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Essas fórmulas transformam funções trigonométricas racionais em funções racionais de t, o que facilita a integração.

Passo 3

Aplicando a substituição. Substitui-se \operatorname{sen} x e dx na integral:
\int \frac{dx}{2+\operatorname{sen} x} =\int \frac{\dfrac{2\,dt}{1+t^{2}}}{2+\dfrac{2t}{1+t^{2}}}.
Agora simplifico a expressão inteira passo a passo. Primeiro, escrevo o denominador com denominador comum 1+t^{2}:
2+\frac{2t}{1+t^{2}}=\frac{2(1+t^{2})+2t}{1+t^{2}}=\frac{2(1+t^{2}+t)}{1+t^{2}}.
Então a integral fica
\int \frac{\dfrac{2\,dt}{1+t^{2}}}{\dfrac{2(1+t^{2}+t)}{1+t^{2}}} =\int \frac{2\,dt}{1+t^{2}}\cdot\frac{1+t^{2}}{2(1+t^{2}+t)} =\int \frac{dt}{1+t^{2}+t}.
Portanto a integral reduces a uma integral racional mais simples:
\int \frac{dt}{t^{2}+t+1}.

Passo 4

Resolver \int \dfrac{dt}{t^{2}+t+1} completando o quadrado (explico a técnica).
Para integrar uma razão com quadrático no denominador, é comum completar o quadrado:
t^{2}+t+1 = \left(t+\frac{1}{2}\right)^{2} + 1 - \frac{1}{4} =\left(t+\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4}.
Defino a mudança de variável simples u=t+\dfrac{1}{2}. Então du=dt e o denominador fica u^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}. A integral transforma-se em
\int \frac{du}{u^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}.
Agora uso a fórmula padrão de primitiva:
\text{Se }a>0,\qquad \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Aqui a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, logo 1/a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}. Assim
\int \frac{du}{u^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{3}/2}\right)+C =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2u}{\sqrt{3}}\right)+C.

Passo 5

Volto às variáveis originais. Lembro que u=t+\dfrac{1}{2} e t=\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Substituindo:
\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2u}{\sqrt{3}}\right) =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2\left(t+\tfrac{1}{2}\right)}{\sqrt{3}}\right) =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right).
Por fim, t=\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right), então a primitiva da integral original é
\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right)+C.

Resposta

\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right)+C

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