Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a substituição de Weierstrass quando conveniente.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integral está em função de
e envolve a função seno no denominador. Não há outras condições (domínio, valores numéricos, etc.). O objetivo é encontrar uma primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Motivação e introdução à substituição de Weierstrass (aula rápida e prática).
A substituição de Weierstrass é útil para integrais com funções trigonométricas racionais (seno, cosseno, etc.). Define-se
A substituição de Weierstrass é útil para integrais com funções trigonométricas racionais (seno, cosseno, etc.). Define-se
As fórmulas padrão decorrentes dessa substituição são (vou explicar cada uma):
-
. Isso vem das identidades trigonométricas e da relação entre seno e tangente do ângulo metade. -
. Mesma origem: identidades de dupla/ metade de ângulo. -
. Isso vem de , então .
Essas fórmulas transformam funções trigonométricas racionais em funções racionais de
, o que facilita a integração.
Passo 3
Aplicando a substituição. Substitui-se
e
na integral:
Agora simplifico a expressão inteira passo a passo. Primeiro, escrevo o denominador com denominador comum
:
Então a integral fica
Portanto a integral reduces a uma integral racional mais simples:
Passo 4
Resolver
completando o quadrado (explico a técnica).
Para integrar uma razão com quadrático no denominador, é comum completar o quadrado:
Para integrar uma razão com quadrático no denominador, é comum completar o quadrado:
Defino a mudança de variável simples
. Então
e o denominador fica
. A integral transforma-se em
Agora uso a fórmula padrão de primitiva:
Aqui
, logo
. Assim
Passo 5
Volto às variáveis originais. Lembro que
e
. Substituindo:
Por fim,
, então a primitiva da integral original é