Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a substituição de Weierstrass quando conveniente. \int \frac{d x}{\operatorname{sen} x+\cos x}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\operatorname{sen} x + \cos x}.
Informações dadas: a integranda é a função x \mapsto \dfrac{1}{\operatorname{sen} x+\cos x}. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{\operatorname{sen} x+\cos x}.
Passo 2
Vamos usar a substituição de Weierstrass. Ela é uma técnica sistemática para transformar integrais com funções trigonométricas em integrais racionais. Definimos
t=\tan\frac{x}{2}.
As fórmulas padrão (que vêm da identidade de tangente da meia-ângulo) são:
Explicando rápido por que essas fórmulas são verdadeiras: escrevendo x=2\theta com \theta=\dfrac{x}{2}, tem-se \operatorname{sen} x=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta e \tan\theta=\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}=t. Substituindo \operatorname{sen}\theta=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} e \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} obtém-se as expressões acima; o diferencial dx=2\,d\theta dá dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^{2}} por derivação de \tan\theta.
Passo 3
Substituindo \operatorname{sen} x, \cos x e dx na integral:
Voltando à variável original usando t=\tan\frac{x}{2}. Substituindo t na expressão e, se preferir, trocando o sinal dentro do log pela propriedade -\ln(A/B)=\ln(B/A), obtemos uma forma mais simétrica: