Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a substituição de Weierstrass quando conveniente.
\int \frac{d x}{\operatorname{sen} x+\cos x}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\operatorname{sen} x + \cos x}.
Informações dadas: a integranda é a função x \mapsto \dfrac{1}{\operatorname{sen} x+\cos x}. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{\operatorname{sen} x+\cos x}.

Passo 2

Vamos usar a substituição de Weierstrass. Ela é uma técnica sistemática para transformar integrais com funções trigonométricas em integrais racionais. Definimos
t=\tan\frac{x}{2}.
As fórmulas padrão (que vêm da identidade de tangente da meia-ângulo) são:
\operatorname{sen} x=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad dx=\frac{2\,dt}{1+t^{2}}.
Explicando rápido por que essas fórmulas são verdadeiras: escrevendo x=2\theta com \theta=\dfrac{x}{2}, tem-se \operatorname{sen} x=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta e \tan\theta=\dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}=t. Substituindo \operatorname{sen}\theta=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} e \cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} obtém-se as expressões acima; o diferencial dx=2\,d\theta dx=\dfrac{2\,dt}{1+t^{2}} por derivação de \tan\theta.

Passo 3

Substituindo \operatorname{sen} x, \cos x e dx na integral:
\int \frac{dx}{\operatorname{sen} x+\cos x} = \int \frac{\dfrac{2\,dt}{1+t^{2}}}{\dfrac{2t}{1+t^{2}}+\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}.
O denominador comum 1+t^{2} simplifica, então obtemos
\int \frac{2\,dt}{2t + (1-t^{2})} = \int \frac{2\,dt}{-t^{2}+2t+1}.

Passo 4

Colocando o polinômio em forma conveniente:
-t^{2}+2t+1 = -(t^{2}-2t-1).
Logo a integral fica
\int \frac{2\,dt}{-t^{2}+2t+1} = -2\int \frac{dt}{t^{2}-2t-1}.
Agora completamos o quadrado no denominador:
t^{2}-2t-1 = (t-1)^{2}-2.
Portanto
-2\int \frac{dt}{t^{2}-2t-1} = -2\int \frac{dt}{(t-1)^{2}-(\sqrt{2})^{2}}.

Passo 5

Para integrar \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}-a^{2}} usa-se a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{u-a}-\frac{1}{u+a}\right),
cuja integral é
\int \frac{du}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|+C.
Aplicando com u=t-1 e a=\sqrt{2}:
-2\int \frac{dt}{(t-1)^{2}-(\sqrt{2})^{2}} = -2\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{t-1-\sqrt{2}}{t-1+\sqrt{2}}\right|+C.
Simplificando o coeficiente:
-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}},
então
\int \frac{dx}{\operatorname{sen} x+\cos x} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\frac{t-1-\sqrt{2}}{t-1+\sqrt{2}}\right|+C.

Passo 6

Voltando à variável original usando t=\tan\frac{x}{2}. Substituindo t na expressão e, se preferir, trocando o sinal dentro do log pela propriedade -\ln(A/B)=\ln(B/A), obtemos uma forma mais simétrica:
\int \frac{dx}{\operatorname{sen} x+\cos x} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\frac{\tan\frac{x}{2}-1+\sqrt{2}}{\tan\frac{x}{2}-1-\sqrt{2}}\right|+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left|\frac{\tan\frac{x}{2}-1+\sqrt{2}}{\tan\frac{x}{2}-1-\sqrt{2}}\right|+C

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