Calcule as integrais indefinidas a seguir.
\int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se calcular a integral indefinida
\int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}.
  • Informação importante que aparece no integrando: há exponenciais \,e^{x}\, e \,e^{-x}\,. Não há limites (é indefinida), então a resposta deverá conter uma constante de integração C.

Passo 2

Simplificar o integrando para uma forma mais conveniente.
Vamos manipular algebricamente o denominador \,e^{x}+e^{-x}\, para escrever o integrando de modo mais claro. Note que
e^{x}+e^{-x}=\frac{e^{2x}+1}{e^{x}}.
Tomando o inverso (porque o integrando é o recíproco do denominador), obtemos
\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}.
Portanto a integral fica
\int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}=\int \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx.
Explicação curta: multiplicar numerador e denominador por e^{x} facilita porque transforma a soma de exponenciais numa função racional de e^{x}.

Passo 3

Escolher e explicar a substituição: transformar em integral padrão.
Observação prática: a expressão \,e^{x}\,dx aparece no numerador. Isso sugere a substituição direta
u=e^{x}.
Agora derivamos ambos os lados para relacionar du com dx:
du = e^{x}\,dx.
Ou seja, exatamente e^{x}\,dx = du. Essa é a ideia básica do método de substituição: escolher u de modo que sua derivada apareça (ou seja proporcional) ao que está multiplicando dx. Aqui ficou perfeito: o numerador vira du e o denominador fica em função de u.

Passo 4

Reescrever a integral em u e usar uma integral conhecida.
Substituindo u=e^{x} e e^{x}\,dx=du na integral obtida no passo anterior:
\int \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\,dx = \int \frac{du}{1+u^{2}}.
Agora usamos um fato padrão de cálculo: a primitiva da função 1/(1+u^{2}) é a função arco-tangente. Ou seja,
\frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Portanto
\int \frac{du}{1+u^{2}}=\arctan(u)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar à variável original e apresentar a primitiva final; verificar rapidamente.
Voltando para x com u=e^{x}, obtemos
\int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}=\arctan\bigl(e^{x}\bigr)+C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando \arctan(e^{x}) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\arctan\bigl(e^{x}\bigr)=\frac{1}{1+e^{2x}}\cdot e^{x}=\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}=\frac{1}{e^{x}+e^{-x}},
logo a primitiva está correta.

Resposta

\arctan\bigl(e^{x}\bigr)+C

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