Calcule as integrais indefinidas a seguir.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se calcular a integral indefinida
- Informação importante que aparece no integrando: há exponenciais
e . Não há limites (é indefinida), então a resposta deverá conter uma constante de integração .
Passo 2
Simplificar o integrando para uma forma mais conveniente.
Vamos manipular algebricamente o denominador
para escrever o integrando de modo mais claro. Note que
Tomando o inverso (porque o integrando é o recíproco do denominador), obtemos
Portanto a integral fica
Explicação curta: multiplicar numerador e denominador por
facilita porque transforma a soma de exponenciais numa função racional de
.
Passo 3
Escolher e explicar a substituição: transformar em integral padrão.
Observação prática: a expressão
aparece no numerador. Isso sugere a substituição direta
Agora derivamos ambos os lados para relacionar
com
:
Ou seja, exatamente
. Essa é a ideia básica do método de substituição: escolher
de modo que sua derivada apareça (ou seja proporcional) ao que está multiplicando
. Aqui ficou perfeito: o numerador vira
e o denominador fica em função de
.
Passo 4
Reescrever a integral em
e usar uma integral conhecida.
Substituindo
e
na integral obtida no passo anterior:
Agora usamos um fato padrão de cálculo: a primitiva da função
é a função arco-tangente. Ou seja,
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar à variável original e apresentar a primitiva final; verificar rapidamente.
Voltando para
com
, obtemos
Verificação rápida (útil na prova): derivando
usando a regra da cadeia:
logo a primitiva está correta.