Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a substituição de Weierstrass quando conveniente.
\int \frac{\operatorname{sen} x}{1+\operatorname{sen} x+\cos x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sen} x}{1+\operatorname{sen} x+\cos x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{\operatorname{sen} x}{1+\operatorname{sen} x+\cos x}.
  • Quer-se uma primitiva (integração indefinida), portanto o resultado será uma função de x mais constante C.

Passo 2

Por que usar a substituição de Weierstrass aqui?
  • A integranda envolve funções trigonométricas \sin x e \cos x numa expressão racional (fração) — esse é um caso clássico onde a substituição de Weierstrass transforma tudo numa função racional de uma nova variável, o que facilita o uso de frações parciais.
  • Vou usar a substituição \;t=\tan\!\big(\tfrac{x}{2}\big)\;, que costuma transformar \sin x,\cos x,dx em expressões racionais em t.

Passo 3

Apresentando as fórmulas da substituição de Weierstrass e explicando o que significam:
t=\tan\!\big(\tfrac{x}{2}\big).
As identidades padrão (que derivam das fórmulas de adição e da identidade 1+\tan^2=\operatorname{sec}^2) são:
\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad dx=\frac{2}{1+t^{2}}\,dt.
Aqui t é a nova variável; a vantagem é que \sin x, \cos x e dx ficam escritos como funções racionais de t.

Passo 4

Substituindo na integranda passo a passo. Primeiro calculo o denominador:
1+\sin x+\cos x =1+\frac{2t}{1+t^{2}}+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.
Colocando sobre o mesmo denominador (1+t^{2}):
1+\sin x+\cos x=\frac{(1+t^{2})+2t+(1-t^{2})}{1+t^{2}} =\frac{2+2t}{1+t^{2}} =\frac{2(1+t)}{1+t^{2}}.
A parte do numerador é
\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}.
Agora a fração inteira (antes de multiplicar por dx) fica:
\frac{\sin x}{1+\sin x+\cos x} =\frac{\dfrac{2t}{1+t^{2}}}{\dfrac{2(1+t)}{1+t^{2}}} =\frac{t}{1+t}.
Finalmente multiplico por dx=\dfrac{2}{1+t^{2}}\,dt:
\frac{\sin x}{1+\sin x+\cos x}\,dx =\frac{t}{1+t}\cdot\frac{2}{1+t^{2}}\,dt =\frac{2t}{(1+t)(1+t^{2})}\,dt.
Portanto a integral em x vira uma integral racional em t:
\int \frac{\sin x}{1+\sin x+\cos x}\,dx =\int \frac{2t}{(1+t)(1+t^{2})}\,dt.

Passo 5

Agora resolvemos a integral racional
\int \frac{2t}{(1+t)(1+t^{2})}\,dt
usando decomposição em frações parciais. Procuro constantes A,B,C tais que
\frac{2t}{(1+t)(1+t^{2})}=\frac{A}{1+t}+\frac{Bt+C}{1+t^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (1+t)(1+t^{2}) obtemos:
2t = A(1+t^{2}) + (Bt+C)(1+t).

Passo 6

Desenvolvendo o lado direito:
A(1+t^{2}) + (Bt+C)(1+t)=A + A t^{2} + Bt + Bt^{2} + C + Ct.
Agrupando termos por potências de t\): \[= (A+C) + (B+C)\,t + (A+B)\,t^{2}.
Comparando coeficientes com 2t (que é 0 + 2t + 0\cdot t^{2}), obtemos o sistema:
\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] B+C=2,\\[4pt] A+B=0. \end{cases}
Resolvendo: de A+B=0\] vem \(B=-A. De A+C=0 vem C=-A. Substituindo em B+C=2:
(-A)+(-A)=2 \quad\Rightarrow\quad -2A=2 \quad\Rightarrow\quad A=-1.
Logo B=1 e C=1. Portanto a decomposição é
\frac{2t}{(1+t)(1+t^{2})}=-\frac{1}{1+t}+\frac{t+1}{1+t^{2}}.]

Passo 7

Integro termo a termo:
\int \frac{2t}{(1+t)(1+t^{2})}\,dt = -\int \frac{1}{1+t}\,dt + \int \frac{t}{1+t^{2}}\,dt + \int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
As primitivais conhecidas que uso aqui:
  • \displaystyle \int \frac{1}{1+t}\,dt=\ln|1+t|.
  • \displaystyle \int \frac{t}{1+t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\ln(1+t^{2}) (substituição u=1+t^{2} ou reconhecimento direto).
  • \displaystyle \int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\arctan t.
Portanto, uma primitiva em t é
-\ln|1+t|+\frac{1}{2}\ln(1+t^{2})+\arctan t + C.

Passo 8

Volto para a variável x usando t=\tan\!\big(\tfrac{x}{2}\big). Observações e simplificações úteis:
  • Como t=\tan\!\big(\tfrac{x}{2}\big), tem-se \arctan t=\dfrac{x}{2} (até uma constante de ramo, que é absorvida em C na primitiva).
  • Usando 1+t^{2}=\operatorname{sec}^{2}\!\big(\tfrac{x}{2}\big) e manipulando os logaritmos:
\frac{1}{2}\ln(1+t^{2})-\ln|1+t| =\ln\!\big(\operatorname{sec}\!\tfrac{x}{2}\big)-\ln\!\big(1+\tan\!\tfrac{x}{2}\big) =\ln\!\Big(\frac{\operatorname{sec}\!\tfrac{x}{2}}{1+\tan\!\tfrac{x}{2}}\Big).
Agora simplify \dfrac{\operatorname{sec}(\frac{x}{2})}{1+\tan(\frac{x}{2})}. Escrevendo em termos de seno e cosseno (tudo em \tfrac{x}{2}):
\frac{\operatorname{sec}\!\tfrac{x}{2}}{1+\tan\!\tfrac{x}{2}} =\frac{1/\cos\!\tfrac{x}{2}}{1+\sin\!\tfrac{x}{2}/\cos\!\tfrac{x}{2}} =\frac{1}{\cos\!\tfrac{x}{2}+\sin\!\tfrac{x}{2}}.
Logo
\frac{1}{2}\ln(1+t^{2})-\ln|1+t|=-\ln\big|\cos\!\tfrac{x}{2}+\sin\!\tfrac{x}{2}\big|.
Somando o termo \arctan t=\dfrac{x}{2}, a primitiva em x fica
-\ln\big|\cos\!\tfrac{x}{2}+\sin\!\tfrac{x}{2}\big|+\frac{x}{2}+C.
Isso é equivalente à forma obtida anteriormente em t, apenas escrita com funções trigonométricas de x. (Constantes aditivas possíveis estão absorvidas em C.)

Resposta

-\ln\big|\cos\!\tfrac{x}{2}+\sin\!\tfrac{x}{2}\big|+\dfrac{x}{2}+C

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