Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a substituição de Weierstrass quando conveniente. \int \frac{\operatorname{sen} x}{1+\operatorname{sen} x+\cos x} d x
A função integranda é \dfrac{\operatorname{sen} x}{1+\operatorname{sen} x+\cos x}.
Quer-se uma primitiva (integração indefinida), portanto o resultado será uma função de x mais constante C.
Passo 2
Por que usar a substituição de Weierstrass aqui?
A integranda envolve funções trigonométricas \sin x e \cos x numa expressão racional (fração) — esse é um caso clássico onde a substituição de Weierstrass transforma tudo numa função racional de uma nova variável, o que facilita o uso de frações parciais.
Vou usar a substituição \;t=\tan\!\big(\tfrac{x}{2}\big)\;, que costuma transformar \sin x,\cos x,dx em expressões racionais em t.
Passo 3
Apresentando as fórmulas da substituição de Weierstrass e explicando o que significam:
t=\tan\!\big(\tfrac{x}{2}\big).
As identidades padrão (que derivam das fórmulas de adição e da identidade 1+\tan^2=\operatorname{sec}^2) são:
Isso é equivalente à forma obtida anteriormente em t, apenas escrita com funções trigonométricas de x. (Constantes aditivas possíveis estão absorvidas em C.)