Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a substituição de Weierstrass quando conveniente.
\int \frac{d x}{3+2 \cos x}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{3+2\cos x}.
Vamos transformar essa integral usando uma substituição que transforma funções trigonométricas racionalmente em função de uma nova variável. A ideia é reduzir a integral para uma integral racional simples que se conheça como primitiva padrão.

Passo 2

Apresentando a substituição de Weierstrass. Definimos
t=\tan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Essa substituição é muito útil porque expressa seno, cosseno e dx como funções racionais de t. As fórmulas básicas (que podem ser lembradas ou deduzidas a partir de x=2\arctan t) são:
\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad dx=\frac{2\,dt}{1+t^{2}}.
Aqui t é a nova variável; em prova, basta saber essas fórmulas e que a substituição é válida sempre que x está em um intervalo onde \tan(x/2) está definida.

Passo 3

Substituímos \cos x e dx na integral. Primeiro calculamos o denominador em termos de t:
3+2\cos x=3+2\cdot\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} =\frac{3(1+t^{2})+2(1-t^{2})}{1+t^{2}}.
Desenvolvendo o numerador:
3(1+t^{2})+2(1-t^{2})=3+3t^{2}+2-2t^{2}=5+t^{2}.
Portanto
3+2\cos x=\frac{5+t^{2}}{1+t^{2}}.

Passo 4

Agora substituímos na integral completa:
\frac{dx}{3+2\cos x} =\frac{\dfrac{2\,dt}{1+t^{2}}}{\dfrac{5+t^{2}}{1+t^{2}}} =\frac{2\,dt}{5+t^{2}}.
Ou seja, a integral original se reduz a
\int \frac{dx}{3+2\cos x}=2\int \frac{dt}{t^{2}+5}.

Passo 5

Reconhecemos a primitiva padrão: para a>0,
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C,
porque a derivada de \arctan(u/a) é \dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{1+(u/a)^{2}}=\dfrac{1}{u^{2}+a^{2}}. Aqui a=\sqrt{5}. Assim
2\int \frac{dt}{t^{2}+5}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{5}}\right)+C=\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{5}}\right)+C.

Passo 6

Voltando para a variável original x usando t=\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right), obtemos a primitiva da integral dada como
\frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sqrt{5}}\right)+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\arctan\!\left(\frac{\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\sqrt{5}}\right)+C

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