Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a substituição de Weierstrass quando conveniente. \int \frac{d x}{3+2 \cos x}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{3+2\cos x}.
Vamos transformar essa integral usando uma substituição que transforma funções trigonométricas racionalmente em função de uma nova variável. A ideia é reduzir a integral para uma integral racional simples que se conheça como primitiva padrão.
Passo 2
Apresentando a substituição de Weierstrass. Definimos
t=\tan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Essa substituição é muito útil porque expressa seno, cosseno e dx como funções racionais de t. As fórmulas básicas (que podem ser lembradas ou deduzidas a partir de x=2\arctan t) são:
Aqui t é a nova variável; em prova, basta saber essas fórmulas e que a substituição é válida sempre que x está em um intervalo onde \tan(x/2) está definida.
Passo 3
Substituímos \cos x e dx na integral. Primeiro calculamos o denominador em termos de t: