Calcule as integrais indefinidas usando a integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular integrais indefinidas usando a técnica de integração por partes. Vou resolver e ensinar passo a passo os seguintes casos clássicos (cada integral abaixo será calculada usando integração por partes):
Passo 2
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se
e
são funções diferenciáveis, a regra do produto diz:
Integrando ambos os lados em relação a
e reorganizando, obtemos a fórmula de integração por partes:
Aqui:
-
é uma função que escolhemos (depois calculamos ); -
é o resto do integrando (depois calculamos integrando ).
Estratégia prática (regra mnemônica LIATE): escolherna ordem Preferência = Logaritmos, Inversas trigonométricas, Álgebraicas (polinômios), Trigonométricas, Exponenciais. Isso costuma simplificar .
Passo 3
Calcular
.
Escolha:
Então
Aplicando integração por partes:
A integral restante é simples:
Portanto
Passo 4
Calcular
.
Escolha (LIATE: polinomial como
):
Então
Aplicando:
Simplificando:
Agora calcular
por partes novamente. Escolha:
Então
Aplicando:
Substituindo de volta:
Organizando:
Passo 5
Calcular
(caso clássico que usa partes escolhendo
).
Escolha:
Então
Aplicando:
Logo:
Passo 6
Calcular
.
Escolha (mesma ideia que em
):
Então
Aplicando:
A integral remanescente resolve-se por substituição simples: se
então
, assim
Portanto
Passo 7
Calcular
. Aqui a técnica é aplicar partes duas vezes e resolver para a própria integral.
Defina
Escolha:
Então
Aplicando:
Chame a segunda integral de
:
Calcule
por partes com a mesma escolha
:
logo
Mas
é
, então
Volte à expressão para
:
Isso dá:
Reorganizando:
Finalmente:
Passo 8
Calcular
.
Escolha:
Então
Aplicando:
A integral remanescente é
Portanto