Calcule as integrais indefinidas usando a integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integrais indefinidas usando a técnica de integração por partes. Vou resolver e ensinar passo a passo os seguintes casos clássicos (cada integral abaixo será calculada usando integração por partes):
\int x e^{x}\,dx,\qquad \int x^{2}\sin x\,dx,\qquad \int \ln x\,dx,\qquad \int \arctan x\,dx,\qquad \int e^{x}\cos x\,dx,\qquad \int x\ln x\,dx.

Passo 2

A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, a regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x e reorganizando, obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos (depois calculamos du);
  • dv é o resto do integrando (depois calculamos v integrando dv).
    Estratégia prática (regra mnemônica LIATE): escolher u na ordem Preferência = Logaritmos, Inversas trigonométricas, Álgebraicas (polinômios), Trigonométricas, Exponenciais. Isso costuma simplificar du.

Passo 3

Calcular \int x e^{x}\,dx.
Escolha:
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Aplicando integração por partes:
\int x e^{x}\,dx = u v - \int v\,du = x e^{x} - \int e^{x}\,dx.
A integral restante é simples:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Portanto
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1)+C.

Passo 4

Calcular \int x^{2}\sin x\,dx.
Escolha (LIATE: polinomial como u):
u = x^{2},\qquad dv = \sin x\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.
Aplicando:
\int x^{2}\sin x\,dx = u v - \int v\,du = -x^{2}\cos x - \int \big(-\cos x\big)\,2x\,dx.
Simplificando:
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\int x\cos x\,dx.
Agora calcular \int x\cos x\,dx por partes novamente. Escolha:
u_{2}=x,\qquad dv_{2}=\cos x\,dx.
Então
du_{2}=dx,\qquad v_{2}=\sin x.
Aplicando:
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.
Substituindo de volta:
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\big(x\sin x + \cos x\big) + C.
Organizando:
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C.

Passo 5

Calcular \int \ln x\,dx (caso clássico que usa partes escolhendo dv=dx).
Escolha:
u=\ln x,\qquad dv = dx.
Então
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\int dx = x.
Aplicando:
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx.
Logo:
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C.

Passo 6

Calcular \int \arctan x\,dx.
Escolha (mesma ideia que em \ln x):
u=\arctan x,\qquad dv = dx.
Então
du=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx,\qquad v=x.
Aplicando:
\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int x\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
A integral remanescente resolve-se por substituição simples: se w=1+x^{2} então dw=2x\,dx, assim
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}).
Portanto
\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.

Passo 7

Calcular \int e^{x}\cos x\,dx. Aqui a técnica é aplicar partes duas vezes e resolver para a própria integral.
Defina
I=\int e^{x}\cos x\,dx.
Escolha:
u=e^{x},\qquad dv=\cos x\,dx.
Então
du=e^{x}\,dx,\qquad v=\sin x.
Aplicando:
I = e^{x}\sin x - \int e^{x}\sin x\,dx.
Chame a segunda integral de J:
J=\int e^{x}\sin x\,dx.
Calcule J por partes com a mesma escolha u=e^{x}, dv=\sin x\,dx:
du=e^{x}\,dx,\qquad v=-\cos x,
logo
J = -e^{x}\cos x - \int -\cos x\,e^{x}\,dx = -e^{x}\cos x + \int e^{x}\cos x\,dx.
Mas \int e^{x}\cos x\,dx é I, então
J = -e^{x}\cos x + I.
Volte à expressão para I:
I = e^{x}\sin x - J = e^{x}\sin x - \big(-e^{x}\cos x + I\big).
Isso dá:
I = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x - I.
Reorganizando:
2I = e^{x}(\sin x + \cos x).
Finalmente:
I = \frac{1}{2}e^{x}(\sin x + \cos x) + C.

Passo 8

Calcular \int x\ln x\,dx.
Escolha:
u=\ln x,\qquad dv = x\,dx.
Então
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Aplicando:
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
A integral remanescente é
\int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.
Portanto
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} + C.

Resposta

\displaystyle \int x e^{x}\,dx = e^{x}(x-1)+C
\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C
\displaystyle \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C
\displaystyle \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C
\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx = \tfrac{1}{2}e^{x}(\sin x + \cos x) + C
\displaystyle \int x\ln x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2}\ln x - \tfrac{x^{2}}{4} + C

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