Calcule as integrais indefinidas usando a integração por substituição.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função cuja derivada seja
. - Devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Motivo para usar substituição: a integranda é uma composição de funções — um seno de uma função linear
. A técnica de substituição (ou mudança de variável) serve exatamente para “desfazer” uma composição: se fizermos
, então
e
Isto é a regra inversa da regra da cadeia na diferenciação. Aqui vamos escolher
de modo que a parte interna do seno se torne a nova variável.
Passo 3
Escolha da substituição e cálculo de
:
Defina
Defina
Agora calcule
em função de
. Derivando
em relação a
,
portanto
Explicando:
é a nova variável que representa
;
é um pequeno incremento de
relacionado a
pela constante
.
Passo 4
Substituição na integral:
Substituindo e
na integral original,
Substituindo
A constante
pode ser fatorada:
Passo 5
Calcule a primitiva de
:
Sabendo que a derivada de é
, a primitiva de
é
. Logo,
Sabendo que a derivada de
Multiplicando pela constante
,
Passo 6
Voltar para a variável original
:
Substitua de volta:
Substitua
Pronto — essa é a primitiva procurada. Lembre que
é a constante de integração que pode assumir qualquer valor real.
Passo 7
Verificação rápida (derivada da primitiva volta ao integrando):
Calcule a derivada de :
Calcule a derivada de
Deu certo — ao derivar retorna a função original, então a primitiva está correta. Força aí — essa técnica funciona sempre que a derivada da parte interna aparece multiplicando a função externa (ou é ajustável por uma constante, como aqui).