Calcule as integrais indefinidas usando a integração por substituição.
\int \operatorname{sen}\left(\frac{3 x}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}\!\left(\frac{3x}{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{3x}{2}\right).
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função cuja derivada seja \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{3x}{2}\right).
  • Devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Motivo para usar substituição: a integranda é uma composição de funções — um seno de uma função linear \dfrac{3x}{2}. A técnica de substituição (ou mudança de variável) serve exatamente para “desfazer” uma composição: se fizermos u=g(x), então du=g'(x)\,dx e
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.
Isto é a regra inversa da regra da cadeia na diferenciação. Aqui vamos escolher u de modo que a parte interna do seno se torne a nova variável.

Passo 3

Escolha da substituição e cálculo de du:
Defina
u=\frac{3x}{2}.
Agora calcule du em função de dx. Derivando u em relação a x,
\frac{du}{dx}=\frac{3}{2},
portanto
du=\frac{3}{2}\,dx \qquad\Rightarrow\qquad dx=\frac{2}{3}\,du.
Explicando: u é a nova variável que representa \dfrac{3x}{2}; du é um pequeno incremento de u relacionado a dx pela constante \dfrac{3}{2}.

Passo 4

Substituição na integral:
Substituindo u=\dfrac{3x}{2} e dx=\dfrac{2}{3}\,du na integral original,
\int \operatorname{sen}\!\left(\frac{3x}{2}\right)\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\cdot\frac{2}{3}\,du.
A constante \dfrac{2}{3} pode ser fatorada:
\int \operatorname{sen}\!\left(\frac{3x}{2}\right)\,dx = \frac{2}{3}\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Calcule a primitiva de \operatorname{sen}(u):
Sabendo que a derivada de \cos(u) é -\operatorname{sen}(u), a primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). Logo,
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u)+C.
Multiplicando pela constante \dfrac{2}{3},
\frac{2}{3}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{2}{3}\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -\frac{2}{3}\cos(u)+C.

Passo 6

Voltar para a variável original x:
Substitua u=\dfrac{3x}{2} de volta:
-\frac{2}{3}\cos(u)+C = -\frac{2}{3}\cos\!\left(\frac{3x}{2}\right)+C.
Pronto — essa é a primitiva procurada. Lembre que C é a constante de integração que pode assumir qualquer valor real.

Passo 7

Verificação rápida (derivada da primitiva volta ao integrando):
Calcule a derivada de -\dfrac{2}{3}\cos\!\left(\dfrac{3x}{2}\right):
\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}\cos\!\left(\frac{3x}{2}\right)\right) = -\frac{2}{3}\cdot\left(-\sin\!\left(\frac{3x}{2}\right)\right)\cdot\frac{3}{2} = \sin\!\left(\frac{3x}{2}\right).
Deu certo — ao derivar retorna a função original, então a primitiva está correta. Força aí — essa técnica funciona sempre que a derivada da parte interna aparece multiplicando a função externa (ou é ajustável por uma constante, como aqui).

Resposta

-\frac{2}{3}\cos\!\left(\frac{3x}{2}\right)+C

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