Calcule as integrais indefinidas usando a integração por substituição.
\int \frac{x}{\sqrt{1+x}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx
Usos e informações dadas:
  • A integral é indefinida (procura-se uma primitiva).
  • Deve-se usar integração por substituição.
  • A expressão apresenta uma raiz de 1+x, o que sugere simplificar essa parte por substituição.

Passo 2

Escolha da substituição e razão: quando aparece \sqrt{1+x} é natural fazer uma substituição que transforme esse termo em uma variável simples. Então tomo
u = 1+x.
Explicando: isso torna a raiz em \sqrt{u}, o que facilita manipular potências. Agora calcule o diferencial:
du = dx,
pois \dfrac{du}{dx}=1. Também expressamos x em função de u:
x = u-1.

Passo 3

Troca na integral usando a substituição: substituindo x=u-1 e dx=du obtemos
\int \frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx = \int \frac{u-1}{\sqrt{u}}\,du.
Aqui foi usada a informação de que u=1+x e que peguei x=u-1 da substituição.

Passo 4

Simplificar a expressão algébrica dentro da integral: dividir cada termo por \sqrt{u} e usar regras de potências:
\frac{u-1}{\sqrt{u}} = \frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{1}{\sqrt{u}} = u^{1/2} - u^{-1/2}.
Lembrete rápido sobre potências: \sqrt{u}=u^{1/2} e \dfrac{u}{u^{1/2}}=u^{1-1/2}=u^{1/2}.

Passo 5

Integração termo a termo usando a regra da potência: a regra é
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1.
Aplicando aos dois termos u^{1/2} e u^{-1/2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2},
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}.
Portanto a integral em u é
\int \bigl(u^{1/2}-u^{-1/2}\bigr)\,du = \frac{2}{3}u^{3/2} - 2u^{1/2} + C.

Passo 6

Voltar para a variável original x substituindo u=1+x:
\frac{2}{3}(1+x)^{3/2} - 2(1+x)^{1/2} + C.
Opcionalmente podemos fatorar (1+x)^{1/2} para uma forma mais compacta:
\frac{2}{3}(1+x)^{3/2} - 2(1+x)^{1/2} = \frac{2}{3}(1+x)^{1/2}\bigl((1+x)-3\bigr) = \frac{2}{3}(x-2)\sqrt{1+x} + C.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivando \dfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}-2(1+x)^{1/2} em relação a x,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right) = (1+x)^{1/2},
\frac{d}{dx}\!\left(-2(1+x)^{1/2}\right) = -(1+x)^{-1/2}.
Somando:
(1+x)^{1/2}-(1+x)^{-1/2}=\frac{1+x-1}{\sqrt{1+x}}=\frac{x}{\sqrt{1+x}},
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}-2(1+x)^{1/2}+C

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