Calcule as integrais indefinidas usando a integração por substituição.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Usos e informações dadas:
- A integral é indefinida (procura-se uma primitiva).
- Deve-se usar integração por substituição.
- A expressão apresenta uma raiz de
, o que sugere simplificar essa parte por substituição.
Passo 2
Escolha da substituição e razão: quando aparece
é natural fazer uma substituição que transforme esse termo em uma variável simples. Então tomo
Explicando: isso torna a raiz em
, o que facilita manipular potências. Agora calcule o diferencial:
pois
. Também expressamos
em função de
:
Passo 3
Troca na integral usando a substituição: substituindo
e
obtemos
Aqui foi usada a informação de que
e que peguei
da substituição.
Passo 4
Simplificar a expressão algébrica dentro da integral: dividir cada termo por
e usar regras de potências:
Lembrete rápido sobre potências:
e
.
Passo 5
Integração termo a termo usando a regra da potência: a regra é
Aplicando aos dois termos
e
:
Portanto a integral em
é
Passo 6
Voltar para a variável original
substituindo
:
Opcionalmente podemos fatorar
para uma forma mais compacta:
Passo 7
Verificação rápida por derivação (para ganhar confiança): derivando
em relação a
,
Somando:
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.