Calcule as integrais indefinidas usando a integração por substituição.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
ou seja, encontrar uma primitiva dessa função. Dados relevantes: o integrando é
multiplicando
, onde a parte dentro da raiz é uma função composta
. Não há outras informações; é uma integral indefinida (vai aparecer constante de integração).
Passo 2
Ideia da técnica (substituição): quando temos uma função composta como
, é natural tentar simplificar usando a substituição
porque então a raiz vira uma potência simples em
:
. A substituição exige também transformar
(ou parte dele) em
através da derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calcular
. Derivando
em relação a
obtemos
Isolando
ou um pedaço útil, podemos escrever
Esse passo é importante: ele mostra que o fator
do integrando pode ser substituído por
.
Passo 4
Reescrever a integral em
. Substituindo
e
na integral original:
Fatorando constantes:
Passo 5
Integrar em
usando a regra do poder (power rule): para qualquer
,
Aqui
, então
Multiplicando pela constante
que estava fora:
Passo 6
Interpretação final dentro do processo de substituição: a primitiva em termos de
é
Para voltar à variável original
basta substituir
. (A substituição final será colocada somente na seção de resposta.)