Calcule as integrais indefinidas usando a integração por substituição.
\int 3 x \sqrt{2 x^{2}-4} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int 3x\sqrt{2x^{2}-4}\,dx
ou seja, encontrar uma primitiva dessa função. Dados relevantes: o integrando é 3x multiplicando \sqrt{2x^{2}-4}, onde a parte dentro da raiz é uma função composta 2x^{2}-4. Não há outras informações; é uma integral indefinida (vai aparecer constante de integração).

Passo 2

Ideia da técnica (substituição): quando temos uma função composta como \sqrt{2x^{2}-4}, é natural tentar simplificar usando a substituição
u=2x^{2}-4,
porque então a raiz vira uma potência simples em u: \sqrt{2x^{2}-4}=\sqrt{u}=u^{1/2}. A substituição exige também transformar dx (ou parte dele) em du através da derivada de u em relação a x.

Passo 3

Calcular du. Derivando u=2x^{2}-4 em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=4x.
Isolando dx ou um pedaço útil, podemos escrever
du=4x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{4}.
Esse passo é importante: ele mostra que o fator x\,dx do integrando pode ser substituído por \dfrac{du}{4}.

Passo 4

Reescrever a integral em u. Substituindo \sqrt{2x^{2}-4}=u^{1/2} e x\,dx=\dfrac{du}{4} na integral original:
\int 3x\sqrt{2x^{2}-4}\,dx = \int 3\cdot u^{1/2}\cdot\frac{du}{4}.
Fatorando constantes:
\int 3x\sqrt{2x^{2}-4}\,dx = \frac{3}{4}\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Integrar em u usando a regra do poder (power rule): para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}+C=\frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pela constante \tfrac{3}{4} que estava fora:
\frac{3}{4}\int u^{1/2}\,du=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C=\frac{1}{2}u^{3/2}+C.

Passo 6

Interpretação final dentro do processo de substituição: a primitiva em termos de u é
\frac{1}{2}u^{3/2}+C.
Para voltar à variável original x basta substituir u=2x^{2}-4. (A substituição final será colocada somente na seção de resposta.)

Resposta

\tfrac{1}{2}\bigl(2x^{2}-4\bigr)^{3/2}+C

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