Assinale a única série divergente.
(a) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-1}.
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{2}+1}{n \ln n}.
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^{n}}{5^{n}}.
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\cos (4 n)}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual, entre quatro séries numéricas dadas, é divergente (existe uma e apenas uma). Vou listar cada série claramente e quaisquer observações iniciais que aparecem no enunciado:
  • (a) \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}-1}.
  • (b) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2 n^{2}+1}{n \ln n}. Observação: o termo para n=1 tem \ln 1=0, o que é indefinido; em prática a análise de convergência é feita para n grandes (ou começando em n=2), portanto vou estudar o comportamento para n\to\infty.
  • (c) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^{n}}{5^{n}}.
  • (d) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+\cos(4n)}{n^{2}}.
O que preciso fazer: analisar convergência de cada série e encontrar a única série que diverge.

Passo 2

Analisando (a): método telescópico por frações parciais.
Primeiro decompor o termo em frações parciais:
\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{1}{(n-1)(n+1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+1}.
Resolvendo A e B (multiplicando por (n-1)(n+1) e igualando coeficientes) obtém-se A=\tfrac{1}{2} e B=-\tfrac{1}{2}. Logo
\frac{1}{n^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right).
Agora calcule a soma parcial S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n^{2}-1}:
S_{N}=\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right).
Escrevendo alguns termos vê-se o cancelamento telescópico:
S_{N}=\frac{1}{2}\Big(1+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{N}-\tfrac{1}{N+1}\Big).
Tomando limite N\to\infty obtemos
\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{1}{2}\Big(1+\tfrac{1}{2}\Big)=\frac{3}{4}.
Conclusão: a série em (a) converge (é uma série telescópica com soma \tfrac{3}{4}).

Passo 3

Analisando (b): teste da razão do termo geral (teste do termo n-ésimo).
Seja a_{n}=\dfrac{2 n^{2}+1}{n\ln n} (para n\ge2 a expressão é bem definida). Para que uma série \sum a_{n} possa convergir é necessário que a_{n}\to0 quando n\to\infty. Vamos estudar o comportamento de a_{n} quando n cresce:
a_{n}=\frac{2 n^{2}+1}{n\ln n}=\frac{2n^{2}}{n\ln n}+\frac{1}{n\ln n}=\frac{2n}{\ln n}+\frac{1}{n\ln n}.
A segunda parcela \dfrac{1}{n\ln n}\to0. A primeira parcela \dfrac{2n}{\ln n} tende a +\infty porque \ln n cresce muito mais devagar que n; uma forma rigorosa é usar que \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0, logo \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{\ln n}=+\infty. Assim
\lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty\quad(\text{em particular }a_{n}\not\to0).
Pelo teste do termo geral (ou critério da divergência): se a_{n}\not\to0 então \sum a_{n} diverge. Portanto a série em (b) diverge.

Passo 4

Analisando (c): separar em duas séries geométricas.
Escreve-se
\frac{2+(-1)^{n}}{5^{n}}=\frac{2}{5^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}=2\left(\frac{1}{5}\right)^{n}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{n}.
As duas séries \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n} e \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n} são séries geométricas com razão r tal que |r|=\tfrac{1}{5}<1, portanto ambas convergem. Como soma de séries convergentes, a série original converge. (Se quiser, pode-se até calcular a soma usando \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\dfrac{r}{1-r}: dá soma \tfrac{1}{3}, mas não é necessário para decidir convergência.)

Passo 5

Analisando (d): comparação e série p-comportamento.
Escreve-se o termo como \dfrac{2+\cos(4n)}{n^{2}}. Observação: |\cos(4n)|\le1 para todo n, portanto
\left|\frac{2+\cos(4n)}{n^{2}}\right|\le\frac{2+1}{n^{2}}=\frac{3}{n^{2}}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3}{n^{2}}=3\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é convergente porque é uma série p com p=2>1. Pelo teste da comparação absoluta (ou simplesmente comparação), \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2+\cos(4n)}{n^{2}} converge absolutamente, logo converge.

Passo 6

Conclusão final combinando os resultados:
  • (a) converge (telescópica).
  • (b) diverge (termo geral não tende a zero).
  • (c) converge (soma de geométricas).
  • (d) converge (comparação com série p de índice 2).
Portanto a única série divergente é a da opção (b).

Resposta

(b)

Exercícios relacionados