Assinale a única série divergente.
(a) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-1}.
(b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{2}+1}{n \ln n}.
(c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^{n}}{5^{n}}.
(d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\cos (4 n)}{n^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual, entre quatro séries numéricas dadas, é divergente (existe uma e apenas uma). Vou listar cada série claramente e quaisquer observações iniciais que aparecem no enunciado:
(b) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2 n^{2}+1}{n \ln n}. Observação: o termo para n=1 tem \ln 1=0, o que é indefinido; em prática a análise de convergência é feita para n grandes (ou começando em n=2), portanto vou estudar o comportamento para n\to\infty.
Conclusão: a série em (a) converge (é uma série telescópica com soma \tfrac{3}{4}).
Passo 3
Analisando (b): teste da razão do termo geral (teste do termo n-ésimo).
Seja a_{n}=\dfrac{2 n^{2}+1}{n\ln n} (para n\ge2 a expressão é bem definida). Para que uma série \sum a_{n} possa convergir é necessário que a_{n}\to0 quando n\to\infty. Vamos estudar o comportamento de a_{n} quando n cresce:
A segunda parcela \dfrac{1}{n\ln n}\to0. A primeira parcela \dfrac{2n}{\ln n} tende a +\infty porque \ln n cresce muito mais devagar que n; uma forma rigorosa é usar que \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0, logo \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{\ln n}=+\infty. Assim
As duas séries \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n} e \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n} são séries geométricas com razão r tal que |r|=\tfrac{1}{5}<1, portanto ambas convergem. Como soma de séries convergentes, a série original converge. (Se quiser, pode-se até calcular a soma usando \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\dfrac{r}{1-r}: dá soma \tfrac{1}{3}, mas não é necessário para decidir convergência.)
Passo 5
Analisando (d): comparação e série p-comportamento.
Escreve-se o termo como \dfrac{2+\cos(4n)}{n^{2}}. Observação: |\cos(4n)|\le1 para todo n, portanto
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3}{n^{2}}=3\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é convergente porque é uma série p com p=2>1. Pelo teste da comparação absoluta (ou simplesmente comparação), \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2+\cos(4n)}{n^{2}} converge absolutamente, logo converge.
Passo 6
Conclusão final combinando os resultados:
(a) converge (telescópica).
(b) diverge (termo geral não tende a zero).
(c) converge (soma de geométricas).
(d) converge (comparação com série p de índice 2).
Portanto a única série divergente é a da opção (b).