Calcule as integrais indefinidas usando a integração por substituição.
integral cos ^2 t d t;

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida integral cos^2 t,dt. O conteúdo envolve integração por substituição e identidades trigonométricas. Vamos precisar da identidade do ângulo duplo para cos^2 t e de uma mudança de variável para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, usamos a identidade do ângulo duplo: cos^2 t = 1 + cos 2t2. Essa identidade transforma o quadrado de cosseno num somatório mais simples de integrar.

Passo 3

Substituímos na integral: integral cos^2 t,dt = integral 1 + cos 2t2,dt = tfrac12 integral (1 + cos 2t),dt. Para tratar cos 2t, fazemos a substituição u = 2t, o que implica du = 2,dt ou dt = tfracdu2.
Com u = 2t, a integral fica
tfrac12 integral (1 + cos 2t),dt = tfrac12 integral (1 + cos u) du2 = tfrac14 integral (1 + cos u),du
Agora integramos cada termo separadamente: integral 1,du = u e integral cos u,du = sin u.
Juntando os resultados, obtemos tfrac14(u + sin u) + C. Voltando à variável original u = 2t, a antiderivada é tfrac14(2t + sin 2t) + C, que simplifica para tfrac t2 + tfracsin 2t4 + C.

Resposta

tfrac t2 + tfracsin 2t4 + C

Exercícios relacionados